Salvador Vera

3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR191
se puede obtener haciendo la división de los polinomios, pero ordenados de
menor a mayor.
Ejemplo 3.47. Hallar el 3 o polinomio de Taylor de la función:
f(x) =
2x +3
x − 1
Solución. Hacemos la división ordenando los polinomios de menor a mayor
grado.
3+2x
−3+3x
5x
−5x +5x2 5x 2
−5x 2 +5x 3
5x 3
−5x 3 +5x 4
5x 4
Con lo cual resulta el siguiente polinomio de Taylor:
2x +3
x − 1 ≈−3 − 5x − 5x2 − 5x 3
Polinomio de Taylor de funciones compuestas
−1+x
−3 − 5x − 5x 2 − 5x 3
Para calcular el polinomio de Taylor de las funciones compuestas, en
vez de derivar directamente dichas funciones, en la generalidad de los casos,
resulta mucho más fácil de calcular dicho polinomio transformando el
polinomio de Taylor de las funciones elementales que la componen
Ejemplo 3.48. Hallar el 4 o polinomio de Taylor de la función:
f(x) =e −x2
Solución. En vez de derivar directamente la función f(x), resulta más conveniente
transformar el polinomio de Taylor de las función y = ex . En efecto,
tenemos que,
e x ≈ 1+x + x2
+ ···
2
de donde, sustituyendo x por −x2 , resulta
f(x) =e −x2
≈ 1+(−x 2 )+ (−x2 ) 2
2
+ ···1 − x 2 + x4
2
+ ···