Salvador Vera

294 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
g
❘
❘
x0 g(x0) f(g(x0))
′
(f ◦ g) ′
f ′
❥
g
✒
f ✒✯
Rm Rn Rp f ◦ g
Figura 4.20: Composición de funciones
Supongamos que la función g : R m → R n es diferenciable en x0 y la función f : R m →
R n es diferenciable en g(x0). Lo que dice la regla de la cadena es que la función compuesta
f ◦ g : R m → R p será diferenciable en x0 yque
(f ◦ g) ′ (x0) =f ′ (g(x0))g ′ (x0)
entendiéndose el lado derecho de esta expresión como una composición de transformaciones
lineales, o bien, en términos matriciales
J(f ◦ g)(x0) =Jf(g(x0))Jg(x0)
entendiéndose el lado derecho de esta última expresión como una multiplicación de matrices.
Es decir, la (matriz que representa a la) derivada de la composición es igual al
producto de las (matrices que representan a las) derivadas de las funciones componentes.
Ejemplo 4.58. Dadas las funciones g : R 2 → R 3 y f : R 3 → R 2 , definidas por:
g(x, y) =(3x, xy, y 2 )
f(x, y, z) =(x 2 +3y 2 , 2xyz)
Hallar la derivada de la composición f ◦ g : R 2 → R 2
(a) Mediante la regla de la cadena.
(b) Realizando previamente la composición.
Solución. (a) La matriz jacobiana de la composición vendrá definida por el producto de