Salvador Vera

4.8. REGLA DE LA CADENA 289
t =cte. → s ✟✟✟✯
∂x
∂s x ❍
❍❍❥
❍
❍❍❥
∂y y ✟
∂s
✟✟✯
∂z
∂x
z
∂z
⇒
∂y
∂z ∂f ∂x ∂f ∂y
= +
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
s =cte. → t ✟✟✟✯
∂x
∂t x ❍
❍❍❥
❍
❍❍❥
∂y y ✟
∂t
✟✟✯
∂z
∂x
z
∂z
⇒
∂y
∂z
∂t
∂f ∂x ∂f ∂y
= +
∂x ∂t ∂y ∂t
Estos resultados se pueden enunciar de una manera más formal mediante
el siguiente
Teorema 4.12 (Regla de la cadena con dos variables independientes).
Sea z = f(x, y), donde f es una función diferenciable de x ydey.
Si x = g(s, t) e y = h(s, t) son tales que existen todas las parciales primeras
∂x/∂s, ∂x/∂t, ∂y/∂s y ∂y/∂t, entonces∂z/∂s y ∂z/∂t existen y vienen
dadas por
y
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
= +
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
∂z
∂t
∂z ∂x ∂z ∂y
= +
∂x ∂t ∂y ∂t
Demostración. Para obtener ∂z/∂s mantenemos t constante, con lo cual
se tiene que g y h son funciones derivables de la única variable s, y,en
consecuencia, podemos aplicar el teorema 4.11 para obtener el resultado
deseado. De la misma forma, para obtener ∂z/∂t mantenemos s constante,
con lo cual g y h son funciones derivables de t solamente, y en consecuencia
también podemos aplicar el teorema 4.11 para obtener el resultado deseado.
Ejemplo 4.55. Dada la función z =2xy, donde x = s 2 + t 2 e y = s/t.
Hallar ∂z ∂z
y
∂s ∂t
(a) Por sustitución de las variables.
(b) Por la regla de la cadena.
Solución. (a) Mediante la sustitución previa es un proceso elemental, basta
con sustituir x e y por sus valores y derivar una vez hecha la sustitución.
z =2xy
x = s 2 + t 2
y = s/t
2 2 s
→ z =2(s + t )
t =2(s3+
st)
t