Salvador Vera

5.5. INTEGRACIÓN POR PARTES. 357
Solución. Elegimos u =lnxy como dv el propio dx.
u =lnx du =
ln xdx=
dv = dx
1
x dx
= x ln x − dx = x ln x − x + C
v = x
Ejemplo 5.50. Hallar la integral arc tg xdx
Solución. Elegimos u =arctgx y como dv el propio dx.
u =arctgx
arc tg xdx=
dv = dx
= x arc tg x − 1
2
du = dx
1+x2 v = x
2x
Ejemplo 5.51. Hallar la integral
dv = e x dx
= x arc tg x −
xdx
=
1+x2 1
dx = x arc tg x −
1+x2 2 ln(1 + x2 )+C
du =2xdx
v = ex x 2 e x dx
Solución. Elegimos u = x2 y dv = exdx.
2 x u = x2 x e dx =
= x 2 e x
x 2 x
− 2xe dx = x e − I1
Aparece una nueva integral I1 que tambien calculamos por partes.
x u =2x
I1 = 2xe dx =
dv = ex du =2dx
dx v = ex
=2xe x −
2e x dx =2xe x − 2e x
de donde resulta,
x 2 e x dx = x 2 e x − (2xe x − 2e x )+C =(x 2 − 2x +2)e x + C
Ejemplo 5.52. Hallar la integral
e x sen xdx
Solución. Elegimos u = ex y dv =senxdx.
x u = ex du = e
e sen xdx=
dv =senxdx
xdx v = − cos x
= −e x cos x +
=
e x cos xdx= −e x cos x + I1
Aparece una nueva integral I1 que también calculamos por partes.
x u = ex du = e
I1 = e cos xdx=
dv =cosxdx
x
dx
= e
v =senx
x
x
sen x − e sen xdx