Salvador Vera

3.2. FUNCIÓN DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIÓN. 171
En efecto:
△f − df
lím
△x→0 △x
△f − f
= lím
△x→0
′ (x)△x △f
= lím
△x
△x→0 △x − f ′
′ ′
(x) = f (x) − f (x) =0
Notación diferencial. Cuando hablemos del diferencial de una función,
en vez de △x usaremos dx, con lo cual resulta
△x = dx
dy = f ′ (x)△x = f ′
′ dy
⇒ f (x) =
(x)dx
dx
Ejemplo 3.25. Calcular el valor aproximado de arc tg 1 ′ 1
Solución. Consideramos la función
Y teniendo en cuenta que:
f(x) = arc tg x, cuya derivada es f ′ (x) =
1
1+x 2
△f ≈ df ⇒ f(x) − f(x0) ≈ f ′ (x0)△x ⇒ f(x) ≈ f(x0)+f ′ (x0)△x
Tomando x =1 ′ 1, x0 =1y△x =0 ′ 1, resulta:
arc tg x ≈ arc tg x0 + 1
1+x2 △x
0
de donde,
arc tg 1 ′ 1 ≈ arc tg 1 + 1
1+12 (0′ 1) = π 1
+
4 2 0′ 1=0 ′ 78 + 0 ′ 05 = 0 ′ 83
Ejemplo 3.26. Dada la función y = 3√ x
1. Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto x =1
2. Utilizar la recta tangente para calcular el valor aproximado de 3√ 1 ′ 03
Solución. La ecuación de la recta tangente en el punto x = 1 viene dada
por.
y − f(1) = f ′ (1) x − 1
Teniendo en cuenta que
f(1) = 3√ 1=1
f(x) = 3√ x = x 1
3 ⇒ f ′ (x) = 1 −2
x 3 =
3 1
3 3√ x2 Resulta la ecuación de la recta tangente,
y =1+ 1
(x − 1)
3
Con lo cual el valor aproximado pedido es:
3√ 1 ′ 03 ≈ 1+ 1
3 (1′ 03 − 1) = 1 + 0′ 03
3 =1+0′ 01 = 1 ′ 01