Salvador Vera

52 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
Por eso en el Teorema 1.2, enlapágina 50, se exige que el límite del cociente de las
diferencias de los términos consecutivos exista. Así, sería correcta la siguiente aplicación
del Criterio de Stoltz
lím
n→∞ cn
an
an
an+1 − an
= lím cn lím = lím cn lím
= ℓ1 · ℓ2 = ℓ
bn n→∞ n→∞ bn n→∞ n→∞ bn+1 − bn
Ahora bien, si ℓ1 o ℓ2 no existen o son infinito, no está permitido continuar con el límite
unificando nuevamente ambos factores.
Teorema 1.3 (Criterio de la Raíz n-sima). Sea {an} una sucesión estrictamente
creciente tal que lím
n→∞ an =+∞, entonces:
lím
n→∞
an+1
n√
an = lím
n→∞ an
Demostración: En efecto, aplicando el Criterio de Stolz a la raíz resulta:
lím
n→∞
n√ an = e lím
n→∞ ln n√ an = e lím
n→∞
ln an
n = e lím
n→∞
ln an+1 − ln n
n +1− n =
= e lím
an+1
ln
n→∞ an+1
an = lím
n→∞ an
Nota: En el criterio de la raíz hay que hacer la misma advertencia que en el criterio de
Stotlz. No se puede hacer una aplicación parcial. En este caso,
1. La raíz tiene que ser n-sima.
2n lím
n→∞
√ an+1
an = lím
n→∞ an
2. La raíz ha de estar sola
lím
n→∞ bn n√ an = lím
n→∞ bn
an+1
an
Ejemplo 1.36 (Aplicando el criterio de la raíz). Calcula los siguientes
límites:
1. lím
n→∞
n (n +1)(n +2)···(n + n) =
(n +2)(n +3)···(n + n +2) (2n + 1)(2n +2)
= lím
= lím
=+∞
n→∞ (n +1)(n +2)···(n + n) n→∞ (n +1)
1
2. lím n
(3n + 1)(3n +2)···(3n + n) =
n→∞ n
n (3n + 1)(3n +2)···(3n + n)
= lím
n→∞
nn =
(3n + 4)(3n +5)···(3n + n +4)
= lím
n→∞
(n +1) n+1
: (3n +1)···(3n + n)
nn =
(3n + 4)(3n +5)···(3n + n +4)n
= lím
n→∞
n
=
(3n + 1)(3n +2)···(3n + n)(n +1) n+1
= lím
n→∞
= lím
n→∞
(3n + n + 1)(3n + n + 2)(3n + n + 3)(3n + n +4)n n
(3n + 1)(3n + 2)(3n +3)(n +1)(n +1) n
(4n + 1)(4n + 2)(4n + 3)(4n +4)
(3n + 1)(3n + 2)(3n +3)(n +1) n+1
n
n = 4 4 4
3 3 3 41
e
=
= 43
3 3 e