Salvador Vera

366CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
numerador es un polinomio de grado una unidad menos que el denominador
resultante.
p(x)
p(x)
dx =
q(x) (x − x1)(x − x2) 2 (ax2 + bx + c)(dx2 dx
+ ex + f) 2
p(x) A
= +
q(x) x − x1
B
+
x − x2
Mx+ N
ax2 Px+ Q
+
+ bx + c dx2 + ex + f +
de donde,
p(x)
dx =
q(x)
A
dx +
x − x1
B
x − x2
Nota. Debemos observar lo siguiente:
+
+ d
dx
æ
Rx 2 + Sx + T
(x − x2)(dx 2 + ex + f)
Mx+ N
dx +
Px+ Q
dx2 dx +
+ ex + f
ax 2 + bx + c dx+
Rx 2 + Sx + T
(x − x2)(dx 2 + ex + f)
1. Como el término complementario es una derivada no necesitamos integrarlo.
2. Las raíces simples no aparecen en el denominador del término complementario.
Esquemáticamente el método de Hermite se puede recordar de la siguiente
forma:
p(x)
q(x) = å
todas las raíces
como simples
Ejemplo 5.62. Calcular,
è d +
dx
dx
(1 + x 2 ) 2
polinomio de grado
el que resulte en el denominador -1
producto de factores múltiples,
eleados a su exponente -1
Solución. Dado que x2 + 1 = 0 no tiene raíces, se trata de una raíz compleja
de multiplicidad 2. Con lo cual, aplicamos el método de Hermite y resulta:
1
(1 + x2
Mx+ N d Ax + B
2 = +
) 1+x2 dx 1+x2
Derivamos el cociente y sumamos las fracciones,
1
(1 + x2 Mx+ N
2 =
) 1+x2 + A(1 + x2 ) − 2x(Ax + B)
(1 + x2 ) 2 =
= (Mx+ N)(1 + x2 )+A(1 + x 2 ) − 2x(Ax + B)
(1 + x 2 ) 2
é