Salvador Vera

142 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: LÍMITES
Lo que contradice el resultado anterior.
Este hecho se debe a que la trayectoria utilizada no es una trayectoria
idónea. En efecto, trayectoria x2 + y2 = x3 contiene al (0, 0) –ya que dicho
punto cumple la ecuación–. Sin embargo la trayectoria no pasa por el origen.
Se trata de una curva que no pasa por el origen de coordenadas, pero que
tiene un punto exterior aislado –precisamente el origen de coordenadas– y
da la apariencia de pasar por él, cuando no es cierto. En efecto, la gráfica
de la curva x2 + y2 = x3 viene representada en la Figura 2.39
y
Figura 2.39: Gráfica de x 2 + y 2 = x 3
La determinación del dominio de las funciones implícitas en la trayectoria
nos dice que la función sólo está definida para x ≥ 1 y para el (0, 0). En
efecto, despejando y resulta,
x 2 + y 2 = x 3 ⇒ y 2 = x 3 − x 2
⇒ y = ± x3 − x2 y para que la raíz cuadrada esté definida, ha de ser
x 3 − x 2 ≥ 0 ⇒ x 3 ≥ x 2
x ≥ 1
⇒
x =0
b) Mediante la aplicación sucesiva de la regla de L´Hôpital
Hacemos el límite mediante trayectorias rectilíneas (o límites reiterados) y
obtenemos un valor concreto. Suponemos, entonces, que la trayectoria díscola
viene definida mediante una función polinómica y = p(x). Sustituimos en
el límite y aplicamos sucesivamente la regla de L´Hôpital hasta obtener
un valor distinto al obtenido anteriormente. Posteriormente calculamos el
polinomio que cumple las condiciones exigidas a p(x).
Nota: La determinación del polinomio p(x) que cumple las condiciones dadas, es inmediata
a partir del polinomio de Taylor –o de Mac Laurin– (Teorema 3.7 de la pág 186)
p(x) =p(0) + p ′ (0)x + p′′ (0)
2 x2 + p′′′ (0)
3! x3 ···
y + e
Ejemplo 2.41. ¿Es cierto que lím
(x,y)→(0,0)
x − 1
ficando la respuesta
x
y + x
=1?. Responde justi-
Solución. Si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante rectas y = mx obtenemos
que el límite, de existir, debería de valer 1. Pero esto no nos permite