Salvador Vera

324 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Para determinar los máximos y mínimos absolutos de una función continua
en un recinto cerrado y acotado no es necesario determinar la naturaleza
de cada uno de los puntos críticos.
Ejemplo 4.78. determinar los extremos absolutos de la función
f(x, y) =xy(1 − x 2 − y 2 )
en el conjunto A = {(x, y) ∈ R 2 tales que 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
Solución. La función f(x, y) =xy(1 − x 2 − y 2 )=xy − x 3 y − xy 3 es continua
en todo R 2 . El recinto dado es el cuadrado unidad situado en el primer
cuadrante. Por tanto, se trata de una función continua definida en un recinto
cerrado y acotado, luego alcanzará unmáximo y un mínimo absoluto. Para
encontrarlos, seguimos los siguientes pasos:
(a) En primer lugar determinamos los puntos críticos del interior del recinto,
igualando a cero las derivadas parciales
fx(x, y) ≡ y − 3x 2 y − y 3 =0
fy(x, y) ≡ x − x 3 − 3xy 2 =0
y(1 − 3x 2 − y 2 )=0
x(1 − x 2 − 3y 2 )=0
Para resolver el sistema igualamos a cero cada factor de la primera ecuación
con cada factor de la segunda ecuación:
1o 1o
y =0
P1(0, 0)
x =0
1o 2o
y =0
1 − x2 − 3y2
y =0
=0 1 − x2
y =0 P2(1, 0)
=0 x = ±1 Q1(−1, 0) ∈ A
2o 1o
1 − 3x2 − y2 =0 1 − y2 =0 y = ±1 P3(0, 1)
x =0
x =0 x =0 Q2(0, −1) ∈ A
2o 2o
1 − 3x2 − y2 =0
1 − x2 − 3y2
3x2 + y2 =1
=0 x2 +3y2
y2 =1− 3x2 =1 x2 +3− 9x2
=1
y2 =1− 3x2 −8x2
y2 =1− 3x2 = −2 x2
y2 =1− 3x2 y2 =1− 3/4 =1/4
=1/4
y = ±1/2 P4(1/2, 1/2)
x = ±1/2 x = ±1/2
x = ±1/2 el resto no
(b) En segundo lugar determinamos los puntos críticos de la frontera del
recinto. Estos puntos críticos serán los cuatro extremos del recinto P1(0, 0),
P2(1, 0), P3(0, 1), P5(1, 1), y los puntos críticos situados en los cuatro segmentos
de la frontera del recinto, que los hallamos por sustitución en z =
f(x, y) =xy(1 − x 2 − y 2 )=xy − x 3 y − xy 3 , estudiando los puntos críticos
de las funciones resultantes, que son de una sola variable.
x =0→ z =0→ z ′ = 0 para cualquier valor de y → P6(0,y)
x =1→ z = y − y − y 3 = −y 3 → z ′ = −3y 2 =0→ y =0→ P2(1, 0)
y =0→ z =0→ z ′ = 0 para cualquier valor de x → P7(x, 0)
y =1→ z = x − x 3 − x = −x 3 → z ′ = −3x 2 =0→ x =0→ P3(0, 1)