Salvador Vera

274 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
La diferencial. Tomando h =(dx, dy, dz), y teniendo en cuenta que la diferencial es
lineal, resulta:
λ(h) =λ(e1)dx + λ(e2)dy + λ(e3)dz.
Es decir,
df(x0) =λ(h) = ∂f ∂f ∂f
dx + dy +
∂x ∂y ∂z dz
Y para el caso de n variables, resulta:
df(x0) =λ(h) = ∂f
dx1 +
∂x1
∂f
dx2 + ···+
∂x2
∂f
dxn
∂xn
Coordenadas y diferenciabilidad de las funciones vectoriales. Los
conceptos de continuidad y diferenciabilidad de funciones vectoriales se establecen en
términos de las funciones componentes. Es decir, se dice que la función f =(f1,f2, ··· ,fm)
es continua (respectivamente, diferenciable) en el punto x0 ∈D,siysólo si todas y cada
una de las funciones componentes fi : D⊆R n → R, i =1, 2, ··· ,m, lo son.
Ahora bien, teniendo en cuenta que las coordenadas de la función f son f =(f1,f2, ··· ,fm),
será:
de donde,
∂f
∂xi
= ∂f1
∂xi
, ∂f2
∂xi
, ··· , ∂fm
∂xi
¡
i =1, 2, ··· ,n
df(x0)= ∂f
dx1 + ···+
∂x1
∂f
dxn =
∂xn
∂f1
= ,
∂x1
∂f2
, ··· ,
∂x1
∂fm¡
∂f1
dx1 + ···+ ,
∂x1
∂xn
∂f2
, ··· ,
∂xn
∂fm¡
dxn =
∂xn
∂f1
= dx1 + ···+
∂x1
∂f1
dxn, ··· ,
∂xn
∂fm
dx1 + ···+
∂x1
∂fm ¡
dxn =(df 1,df2, ··· ,dfm)
∂xn
Luego el diferencial de una función vectorial se puede calcular por componentes:
df(x0) =(df 1,df2, ··· ,dfm) (4.9)
Ejemplo 4.48. Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de la función f : R 2 → R 2 ,
definida por
f(x, y) =(x + y, |y|)
Solución. (a) La función es continua en todo R 2 , pues las funciones componentes
f1, f2 : R 2 → R, f1(x, y) =x + y, f2(x, y) =|y| lo son.
(b) La función no es diferenciable en el origen, pues la función f2(x, y) =|y| no lo es.
El jacobiano
Si la función f : D ⊆ R n → R m es diferenciable en el punto x0 =(x1, ··· ,xn) ∈D
entonces, su diferencial será:
df(x0) =λ(h) = ∂f
∂x1
dx1 + ∂f
dx2 + ···+
∂x2
∂f
dxn
∂xn
Que se puede expresar de manera matricial, de la forma:
df(x0) = ∂f
∂x1
, ∂f
, ··· ,
∂x2
∂f ¡
∂xn
à dx1
dx2
.
dxn
= Jf(x0)dx