Salvador Vera

1.3. FUNCIONES 41
En consecuencia, la función tiene inversa. El procedimiento para calcular la
función inversa consiste en expresar x en función de y.
y = x 2 ⇒ x = √ y y ∈Rf = {y ∈ R; y ≥ 0}
O bien, expresado en términos de x, f −1 (x) = √ x
c) Este caso es similar al caso anterior. La función también es inyectiva y,
en consecuencia, tiene inversa.
f −1 (x) =− √ x
Ejemplo1.29(Hallando la función recíproca). Hallar, si existe, la función
recíproca de:
3x +5
f(x) =
x − 2
Solución. –La función es inyectiva. En efecto, sea f(x1) =f(x2), será;
3x1 +5
x1 − 2 = 3x2 +5
x2 − 2
de donde, quitando denominadores y operando, resulta
(3x1 +5)(x2 − 2) = (3x2 +5)(x1 − 2)
3x1x2 − 6x1 +5x2 − 10 = 3x1x2 − 6x2 +5x1 − 10
y simplificando, resulta x1 = x2
–Despejando la variable x resulta,
y =
3x − 5
x − 2
⇒ y(x − 2) = 3y +5⇒ yx − 2y =3y +5⇒ x(y − 3) = 2y +5
De donde, intercambiando la variables, se tiene
y =
2x +5
x − 3 ⇒ f −1 2x +5
(x) =
x − 3
–En lo que respecta al dominio y recorrido, se tiene:
Df = R f −1 = R −{2}
Rf = D f −1 = R −{3}
⇒ x =
2y +5
y − 3
Nota: El proceso para obtener la ecuación correspondiente a la recíproca de una función,
suele ser complicado y en muchos casos imposible. Así,