Salvador Vera

4.8. REGLA DE LA CADENA 293
Puede demostrarse que la función f : D R n → R m es diferenciable en x0 ∈D(según
la definición 4.20) siysólo si sus funciones coordenadas fi : D R n → R m lo son (con
la definición de diferenciabilidad 4.7). Más aún, teniendo en cuenta que la derivada de la
i-ésima función coordenada fi en x0 es la matriz de orden 1 × n
Jfi(x0) =
∂fi
∂x1
(x0) ∂fi
(x0) ···
∂x2
∂fi
(x0)
∂xn
tenemos que la derivada de la función f : D R n → R m es la matriz que en su i-ésima
fila tiene la derivada de su i-ésima función componente. Esquemáticamente:
Jf(x0) =
∂f1
(x0)
∂x1
∂f2
(x0)
∂x1
.
∂fm
(x0)
∂x1
∂f1
(x0) ...
∂x2
∂f2
(x0)
∂x2
...
. ···
∂fm
(x0)
∂x2
...
∂f1
(x0)
∂xn
∂f2
(x0)
∂xn
.
∂fm
(x0)
∂xn
=
← Jf1(x0) →
← Jf2(x0)
.
→
← Jfm(x0) →
Obsérvese también que la matriz 1 × n, Jfi(x0), derivada de la función fi : D R n → R,
se identifica de manera natural con el vector gradiente de fi en x0
Jfi(x0) = grad fi(xo) =
∂fi
∂x1
(x0), ∂fi
(x0), ··· ,
∂x2
∂fi
(x0)
∂xn
Así, el gradiente de una función de n variables (definido en 4.9) es como la derivada de la
función (en el sentido de la definición 4.20).
Ejemplo 4.56. Derivar la función f : R 2 → R 2 dada por f(x, y) =(x 2 +3y 2 ,x 3 +2y 5 )
Solución. Las funciones coordenadas vienen definidas por:
luego,
f1(x, y) =x 2 +3y 2 , f2(x, y) =x 3 +2y 5
Jf =
∂f1
∂x
∂f2
∂x
∂f1
∂y
∂f2
∂y
DZ
2x 6y
=
3x 2
10y 4
Ejemplo 4.57. Hallar la derivada en el punto (0, 0) de la función f : R 2 → R 3 definida
por f(x, y) = x + y, e x+y , sen(x + y) ¡ .
Solución. Las funciones coordenadas vienen definidas por:
luego,
Jf =
f1(x, y) =x + y, f2(x, y) =e x+y , f3(x, y) =sen(x + y)
∂f1
(0, 0)
∂x
∂f2
(0, 0)
∂x
∂f3
(0, 0)
∂x
∂f1
∂y
(0, 0)
∂f2
(0, 0)
∂y
∂f3
(0, 0)
∂y
ã
1 1
= e x+y
e x+y
cos(x + y) cos(x + y)
x=0
y=0
Regla de la cadena. Caso general. Esquemáticamente la situación sería:
=
à
1 1
1 1
1 1