Salvador Vera

216 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
2. z =(x 2 + y 2 )e −xy
3. z = xye x/y
∂z
∂x =2xe−xy +(x 2 + y 2 )(−ye −xy )=(2x − x 2 y − y 3 )e −xy
∂z
∂y =2ye−xy +(x 2 + y 2 )(−xe −xy )=(2y − x 3 − xy 2 )e −xy
∂z
∂x = yex/y + xy( 1
y ex/y )=(y + x)ex/y ∂z
∂y = xex/y + xy( −x
y2 ex/y )=(x− x2
y )ex/y =
x(y − x)ex/y
y
Ejemplo 4.6. Dada la función: f(x, y) =4x 3 y 2 − 4x 2 + y 6 +1. Hallar las
dos derivadas parciales en el punto (1, 1)
Solución. Calculamos las derivadas parciales mediante las reglas de derivación
y luego sustituimos las coordenadas del punto.
∂f
∂x (x, y) =12x2y2−8x → ∂f
(1, 1) = 12 − 8=4
∂x
∂f
∂y (x, y) =8x3y +6y5 → ∂f
(1, 1)=8+6=14
∂y
Notación: Se utilizan las siguientes notaciones:
zx = ∂z ∂f ∂f
= =
∂x ∂x ∂x (x, y) =fx = f ′ x = fx(x, y) =Dxf(x, y) =D1f(x, y)
zy = ∂z
∂y
= ∂f
∂y
= ∂f
∂y (x, y) =fy = f ′ y = fy(x, y) =Dyf(x, y) =D2f(x, y)
Cuando se trate de un punto genérico (x, y), normalmente no indicaremos las
coordenadas, simplemente pondremos fx. Sin embargo, cuando se trate de un
punto concreto (x0,y0), siempre las indicaremos, para saber de qué punto se
trata. En este caso, en algunas ocasiones utilizaremos la siguiente notación:
∂f
∂x (x0,y0) = ∂f
∂x
(x0,y0)
4.1.4. Funciones de más de dos variables
El concepto de derivada parcial se puede generalizar a funciones de cualquier
número de variables. Bastará con derivar la función suponiendo que depende,
en cada caso, de una sola variable, con las demás fijas. Así, si w = f(x, y, z),
entonces hay tres derivadas parciales, las cuales se obtienen considerando
cada vez dos de las variables constantes y derivando respecto de la otra. Es