Salvador Vera

1.5. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 75
Definición 1.30 (Asíntotas verticales). Diremos que la recta x = x0
es una asíntota vertical de la gráfica de la función f, siellímite de f(x),
cuando x tiende a x0 por la derecha o por la izquierda, es +∞ (o −∞).
Nota: Cuando la función f venga definida por un cociente
f(x) = g(x)
h(x)
las asíntotas verticales habrá que buscarlas en los ceros del denominador h(x) =0.
1.5.7. Límites en el infinito
Con concepto de límite de una función cuando x tiende a +∞ o −∞ se
pretende estudiar el comportamiento de la función cuando x crece (o decrece)
sin límite. Es decir, x toma valores extremadamente grandes, positivos (o
negativos). El concepto es análogo al de límite de una sucesión. Veámoslo
con un ejemplo,
Ejemplo 1.52. Estudiar el comportamiento de la función
f(x) = 3x
|x| +1
cuando x crece o decrece sin límite.
Solución. Los valores de f(x), cuando a x crece o decrece sin límite, vienen
recogidos en la siguiente tabla.
x decrece sin límite x crece sin límite
x −∞ ← -1000 -100 -10 0 10 100 1000 → +∞
f(x) −3 ← -2.997 -2.97 -2.73 0 2.73 2.97 2.997 → 3
f(x) seacercaa−3 f(x) seacercaa3
De la tabla se desprende que los valores de f(x) tienden a 3 cuando x
crece sin límite y a −3 cuando x decrece sin límite. En consecuencia diremos
que
lím f(x) = lím
x→−∞ x→−∞
3x
= −3, y lím f(x) = lím
|x| +1 x→+∞ x→+∞
3x
|x| +1 =3
La gráfica de la función f es una curva con dos asíntotas horizontales: la
recta x = 3, por la derecha; y la recta x = −3, por la izquierda. (véase
Figura 1.37).
En consecuencia podemos decir que:
El límite de la función f, cuando x tiende a +∞ es ℓ, sif(x) estátan
próximo a ℓ como queramos, siempre que x sea los suficientemente grande,
yseescribe:
lím f(x) =ℓ
x→+∞