Salvador Vera

3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE 205
3. Encontrar una fórmula para la magnitud que hay que derivar y expresarla
en función de una sola variable y entonces derivar.
Naturaleza de los puntos críticos. La naturaleza de los puntos críticos
puede determinarse por cualquiera de los siguientes criterios.
1. Por la propia naturaleza del problema.
2. Comparando el valor de la función en los puntos críticos y en los extremos
del dominio.
3. Estudiando el signo de la primera derivada a ambos lados de cada
punto crítico.
4. Estudiando el signo de la segunda derivada en los puntos críticos.
Observación: Si el problema pide un máximo y encontramos un mínimo,
el máximo habrá que buscarlo en los extremos del dominio.
Ejemplo 3.66. Un granjero tiene 200 m de tela metálica que va a utilizar
para construir tres lados de un corral rectangular; se va a usar un muro recto
que ya existe como cuarto lado del corral. ¿Qué dimensiones maximizarán
el área del corral?.
Solución. La magnitud a maximizar es el área.
a = x · y
a = x(200−2x) = 200x−2x2 2x + y = 200 → y = 200 − 2x
de donde,
a ′ x
y
x
(x) = 200 − 4x → 200 − 4x =0→ x =50
Comprobamos que realmente se trata de un máximo, a partir de la segunda
derivada:
a ′′ (x) =−4 ⇒ a ′′ (50) = −4 → máximo
Luegolasolución es x =50ey = 100.
Ejemplo 3.67. Una lámina metálica rectangular mide 5 m. de ancho y 8 m.
de largo. Se van a cortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas para doblar
la pieza metálica resultante y soldarla para formar una caja sin tapa. ¿Cómo
debe hacerse para obtener una caja del máximo volumen posible?
Solución. la magnitud a maximizar es el volumen.
v = x(8 − 2x)(5 − 2x) =4x 3 − 26x 2 +40x
de donde