Salvador Vera

1.3. FUNCIONES 43
Demostración. Una función es estrictamente monótona en un intervalo si
es: o bien estrictamente creciente, en dicho intervalo; o bien estrictamente
decreciente.
Por otro lado, una función es inyectiva si puntos distintos tienen imágenes
distintas. Es decir,
x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2)
Elijamos x1 y x2 en el intervalo dado. Si x1 = x2 será: o bien x1 x2. Y al ser f estrictamente monótona será f(x1) f(x2). En ambos casos f(x1) = f(x2). Por tanto f es inyectiva en
el intervalo.
x1 = x2 ⇒
x1 x2
⇒
f(x1) f(x2)
⇒ f(x1) = f(x2)
Nota: El recíproco de esta proposición no es cierto. Es decir, una función inyectiva no
tiene porqué ser estrictamente monótona. Es más, puede ser estrictamente creciente en un
intervalo y estrictamente decreciente en otro intervalo, con tal de que no haya dos puntos
en la misma horizontal
Corolario 1.1. Si una función es estrictamente monótona, entonces tiene
función inversa.
Demostración. En efecto, si la función es estrictamente monótona, entonces
será inyectiva y, en consecuencia, tendrá inversa.
1.3.7. Funciones suprayectivas y biyectivas
Definición 1.15 (Función suprayectiva). Sea f una función con Df ⊆ A
y rango Rf ⊆ B. Se dice que f es suprayectiva o sobreyectiva cuando el
rango coincide con el conjunto final Rf = B
Definición 1.16 (Función biyectiva). Sea f una función con Df ⊆ A y
rango Rf ⊆ B. Se dice que f es biyectiva si es, simultáneamente, inyectiva
y suprayectiva.
Si una función es biyectiva, se dice que es una biyección.
1.3.8. Imágenes directa e inversa de un conjunto
Sea f una función arbitraria con dominio Df en A y rango Rf en B. Se
define 2 ,
Definición 1.17 (Imagen directa de un conjunto). Si E es un subconjunto
de A, entonces la imagen directa de E bajo f es el subconjunto de Rf
dado por
f(E) ={f(x); x ∈ E ∩Df }
2 Para más detalles sobre estos temas véase [3, Bartle], citado en la bibliografía.