Salvador Vera

158 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
3.1.10. La ecuación de la recta normal
Ejemplo 3.8. Hallar, gráficamente, un vector perpendicular al vector v =
(2, 3) e indicar la relación que existe entre sus componentes y sus pendientes.
Solución.
✲x y
✻ v
vp
✡ ✡✡✡✡✣
◗❦
◗
◗
◗
Figura 3.16:
Tenemos que:
v =(2, 3) Las componentes se cambian de
vp =(−3, 2) orden y una de ellas de signo.
y para las pendientes:
m =3/2
m ′
m ′ −1
=
= −2/3 m
La inversa
cambiada de signo.
Proposición 3.1. Dos rectas perpendiculares tienen pendientes inversas y
cambiadas de signo.
Definición 3.4 (Recta normal). Se llama recta normal a una curva, en
un punto de la misma, a la perpendicular a la recta tangente en dicho punto.
La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la función,
y la de la recta normal con su inversa cambiada de signo, con lo cual resulta
lo siguiente:
y
✻
✲x y
P ✟
x − x0
f(x0)
✟✟✟✟✟✟
✟
✟
✟ ❆
❆
❆
❆ α
❆
❆
x
x0
f(x)
Figura 3.17: Recta normal.
Ecuación de la recta tangente:
y − f(x0) =f ′ (x0)(x − x0)
Ecuación de la recta normal:
y − f(x0) = −1
f ′ (x − x0)
(x0)
3.1.11. Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente
vertical
Cuando la derivada se hace cero en un punto, entonces la tangente es
una recta horizontal y = y0, y la recta normal es la recta vertical que pasa
por el punto x = x0.
Cuando la derivada se hace infinita en un punto, entonces la tangente es
la recta vertical que pasa por el punto x = x0, y la recta normal es la recta
horizontal que pasa por el punto y = y0.