Salvador Vera

4.1. DERIVADAS PARCIALES 219
la altura, h, y derivamos con respecto a r. A continuación evaluamos la
derivada parcial para r =4yh = 20.
∂V
∂r
=2πrh → ∂V
∂r (r =4,h= 20) = 2π · 4 · 20 = 160π cm3 /cm de r
Para hallar la razón de cambio del volumen respecto de la altura, h,fijamosel
radio, r, y derivamos con respecto a h. A continuación evaluamos la derivada
parcial para r =4yh = 20.
∂V
∂h = πr2 → ∂V
∂h (r =4,h= 20) = 16π cm3 /cm de h
En el primer caso, si mantenemos fija la altura e incrementamos el radio, se
produce un incremento del volumen de 160π cm 3 /cm de r. Mientrasque
en el segundo caso, si mantenemos fijo el radio e incrementamos la altura,
se produce un incremento del volumen de 16π cm 3 /cm de h
4.1.6. Interpretación geométrica de las derivadas parciales
✲ y
z
✻ P•
x0
x
✠
y0
•
p(x0,y0)
Recta tangente
❅❘ ✠z
= f(x, y0)
z = f(x, y)
z
✻
x0
x
✠
z = f(x, y)
P •
y0
•
p(x0,y0)
Figura 4.1: Curvas z = f(x, y0) yz = f(x0,y).
Recta
tangente
✠
◗❦
z = f(x0,y)
Si en la ecuación z = f(x, y) fijamos la variable y, y = y0, resulta una
función de una sola variable, z = f(x, y0) =g(x). Desde el punto de vista
geométrico, la función g(x) =f(x, y0) representa la curva que se obtiene de
la intersección de la superficie z = f(x, y) con el plano y = y0
z = f(x, y)
y = y0
z = f(x, y0) =g(x)
En consecuencia, la derivada parcial de la función f, respecto de la variable
x, en el punto p representa la pendiente de la tangente a la curva g(x) =
f(x, y0) en el punto P correspondiente de la gráfica, es decir, la inclinación
de la superficie en la dirección del eje x.
✲ y