Salvador Vera

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 103
Considerando los dominios, se tiene,
f : Df ⊆ Rn → R
g : Dg ⊆ Rn → R
f + g : Df ∩ Dg ⊆ Rn → R
(f + g)(x) =f(x)+g(x)
Es decir, el dominio de la función suma es la intersección de los dominios
de las funciones sumandos. Igual ocurre con la diferencia y el producto. Sin
embargo, en el cociente hay que hacer una restricción adicional y eliminar
aquellos puntos que anulan el denominador, ya que no está permitido dividir
por cero. Así,
D f/g = Df ∩ Dg −{x ∈ Dg/g(x) =0}
Ejemplo 2.4 (Hallando el dominio de una suma de funciones). Encontrar el
dominio de la función:
f(x, y) = x2y
y − x2 +
x − 1
1 − x2 − y2 Solución. Hallamos el dominio de cada uno de los sumandos, por separado.
Y luego hallamos la intersección de los dominios obtenidos.
y − x 2 > 0 ⇒ y>x 2 ⇒D1 = {(x, y) ∈ R 2 /y>x 2 }
1 − x 2 − y 2 > 0 ⇒ x 2 + y 2 < 1 ⇒D2 = {(x, y) ∈ R 2 /x 2 + y 2 < 1}
La intersección de estos dominios está constituida por los puntos interiores
al círculo unitario x2 + y2 = 1 (excluyendo su frontera) que están en el
interior de la parábola de ecuación y = x2 (excluyendo su frontera).
-1
y
1
-1
Figura 2.12: Dominio de la función f(x, y) =
1
x
x 2 y Ô
y − x2 +
x − 1 Ô
1 − x2 − y2 Funciones polinómicas.
En varias variables se suele utilizar una terminología similar a la utilizada
en una variable. Así, una función que se puede expresar como suma de
funciones de la forma cx m y n (donde c es un número real y m y n son
enteros no negativos) se conoce como función polinómica de dos variables.
Por ejemplo, son funciones polinómicas de dos variables, las siguientes:
f(x, y) =x 2 + y 2 − 3xy + x +2 y g(x, y) =2xy 2 − y +3