Salvador Vera

66 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
y
2
1
−3 −2 −1
0 1 2 3
Figura 1.31: f(x) = √ x
1.5.3. Propiedades de los límites
Proposición 1.14 (Propiedades algebraicas de los límites). Son ciertas
las siguientes propiedades:
ä ç ä
1. Múltiplo escalar: lím rf(x) = r lím f(x)
x→x0
x→x0
ç , r ∈ R
2. Suma o diferencia: lím
x→x0
3. Producto: lím
x→x0
f(x)
4. Cociente: lím
x→x0 g(x) =
5. Potencia: lím [f(x)]
x→x0
r =
x
ä f(x) ± g(x) ç = lím
ä f(x) · g(x) ç = lím
lím
x→x0
lím
x→x0
f(x)
g(x)
x→x0
å
lím f(x)
x→x0
x→x0
f(x) · lím g(x)
x→x0
, si lím g(x) = 0
x→x0
1.5.4. Continuidad de una función en un punto
è r
f(x) ± lím g(x)
x→x0
En el lenguaje cotidiano la palabra continuo se utiliza para indicar que algo
dura sin interrupción, obienque las cosas tienen unión entre sí. EnCálculo
el significado es similar. Decir que una función f es continua en un punto x0
significa que no sufre interrupción en x0, que no se rompe ni tiene huecos,
que su gráfica “atraviesa” el punto (x0,y0).
Definición 1.26 (Continuidad en un punto). Una función f se dice
que es continua en el punto x0 si se verifican las tres relaciones siguientes:
1. f(x0) está definido 2. lím f(x) existe 3. lím f(x) =f(x0)
x→x0
x→x0
lo que se puede resumir escribiendo
f es continua en x0 ⇔ lím f(x) =f(x0) (1.10)
x→x0
Nota: Las situaciones por las que una función no es continua en un punto son las siguientes:
1. La función no está definida en el punto.
2. El límite de la función en el punto no existe.