Salvador Vera

336CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
Solución. Sacamos factor común la base de los rectángulos, 1/n, yelresto
lo expresamos en función de k/n.
n
lím
n→∞ n2 n
+
+1
n2 + ···+
+4
1 n2 = lím
n→∞ n n2 +1
1 1
= lím
n→∞ n 1+( 1 +
)2
1
= lím
n→∞ n
n
n
k=1
n
n2 + n2
=
n2
+
n2 n2
+ ···+
+4 n2 + n2 1
1+( 2 ++···+
n
)2
1
1+( k =
n
)2
Ejemplo 5.6. Calcular el siguiente límite:
lím
n→∞
n
+
(n +1) 2
1
0
n
+ ···+
(n +2) 2
=
1
=
1+( n
n )2
1
dx =
1+x2 n
(n + n) 2
arc tg x
1
0
= π
4
Solución. Sacamos factor común la base de los rectángulos, 1/n, yelresto
lo expresamos en función de k/n.
n n
n
lím
+ + ···+
n→∞ (n +1) 2 (n +2) 2 (n + n) 2
=
1 n2 n
= lím
+
n→∞ n (n +1) 2 2
n
+ ···+
(n +2) 2 2
(n + n) 2
=
1 n 2 n 2 n 2
= lím
+ + ···+
=
n→∞ n n +1 n +2
n + n
1 1
= lím
n→∞ n 1+ 1
2
1
+
n 1+ 2
2
1
+ ···+
1+
n
n
2 =
n
1 n
1
= lím
n→∞ n
k=1 1+ k
2 1 2 1
1 1
=
dx =
dx =
n
0 1+x
0 (1 + x) 2
−1 1 −1 1
= = +1=
1+x 0 2 2
Ejemplo 5.7. Calcular el siguiente límite:
1 1
1
lím + + ···+
n→∞ n +1 n +2 n + n
Solución. Sacamos factor común 1/n y el resto lo expresamos en función de