Salvador Vera

304 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
y teniendo en cuenta que la ecuación del plano tangente a la superficie
z = f(x, y) en el punto P (0, 1, −1) viene definida por:
z = f(0, 1) + ∂f
∂f
(0, 1) · (x − 0) + (0, 1) · (y − 1)
∂x ∂y
resulta: z = −1 − x − 4
(y − 1), o bien, simplificando 3x +4y +3z =1
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Ejemplo 4.65. Sea F una función diferenciable y con derivadas parciales
continuas tal que F (9, 2, −4) = 0 y ∇F (9, 2, −4) = (−1, 0, 5). ¿La ecuación
F (x, y, z) =0define una función diferenciable z = f(x, y) tal que f(9, 2) =
−4? En caso afirmativo, determina ∂f ∂f
(9, 2) y (9, 2) y, con su ayuda,
∂x ∂y
calcula la ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto
(9, 2, −4).
Solución. El teorema 4.15 de la función implícita afirma que una ecuación
F (x, y, z) = 0 define una función z = f(x, y) diferenciable en un punto
p = (x, y), si se cumplen las tres condiciones siguientes: el punto P =
(x, y, z) cumple la ecuación F (P ) = 0, las derivadas parciales de F en P son
continuas, y Fz(P ) = 0.
En nuestro caso, el punto P que cumple la ecuación dada viene definido por
P (9, 2, −4)
Por hipótesis, las derivadas parciales de F son continuas en todo R 3 ypor
tanto en P . Sus valores vienen dados por las coordenadas del gradiente:
∇F =(Fx,Fy,Fz) → Fx(9, 2, −4) = −1, Fy(9, 2, −4) = 0, Fz(9, 2, −4) = 5
Yademás: Fz(9, 2, −4) = 5 = 0 Luego podemos afirmar la existencia de la
función z = f(x, y) diferenciable en el punto p =(9, 2).
En virtud del teorema de la función implícita tenemos:
∂f
∂x (x, y) =−Fx(x, y, z)
Fz(x, y, z)
∂f
∂y (x, y) =−Fy(x, y, z)
Fz(x, y, z)
∂f
→
∂x (9, 2) = −Fx(9, 2, −4) 1
=
Fz(9, 2, −4) 5
∂f
→
∂y (9, 2) = −Fy(9, 2, −4) 0
=
Fz(9, 2, −4) 5 =0
y teniendo en cuenta que la ecuación del plano tangente a la superficie
z = f(x, y) en el punto P (9, 2, −4) viene definida por:
z = f(9, 2) + ∂f
∂f
(9, 2) · (x − 9) + (9, 2) · (y − 2)
∂x ∂y
resulta: z = −4+ 1
(x − 9) + 0(y − 2), o bien, simplificando x − 5z =29
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