Salvador Vera

2.2. LÍMITE Y CONTINUIDAD 137
todos los puntos del entorno significa todas las posibles formas de aproximarse.
En consecuencia, para ver que una función no tiene límite en un
punto se siguen varios caminos de aproximación al punto y si la función
tiene un límite distinto por cada camino, entonces el límite ✭✭doble✮✮ no existe.
El problema será determinar si existe un camino que conduce a otra
parte. En la práctica los caminos que se suelen seguir son rectas y parábolas.
(El camino por rectas se sigue cuando las potencias del denominador son
del mismo grado, y el camino por parábolas cuando son de distinto grado,
intentando igualar los grados). No debe olvidarse que la recta ha de pasar
por el punto en cuestión, es decir su ecuación ha de ser y − y0 = m(x − x0).
Hay que advertir que este método sólo es refutativo, es decir, nos permite
negar la existencia del límite pero no afirmarla. Así, si encontramos
dos límites direccionales diferentes, entonces podemos afirmar que el límite
✭✭doble✮✮ no existe. Pero si todos los límites direccionales que tomamos nos
dan el mismo límite, no por eso podemos afirmar la existencia del límite. Lo
más que podemos decir es que, de existir el límite doble, su valor será elde
los direccionales, pero nadie asegura que siguiendo otra dirección, diferente
a las tomadas hasta ese momento, obtengamos un resultado diferente.
Ejemplo2.34(Calculando límites direccionales). Probar que el siguiente
límitenoexiste.
lím
(x,y)→(0,0)
xy
x 2 + y 2
Solución. Si nos acercamos al origen a través de la recta y = x, setiene
xy
lím
(x,y)→(0,0) x2 + y
2 = lím
(x,y)→(0,0)
y=x
x→0
xx
x2 =lím
+ x2 x→0
x2 1
=
2x2 2
luego, de existir el límite, debería ser 1/2. Mientras que si nos acercamos al
origen a través de la recta y = −x, setiene
xy
lím
(x,y)→(0,0) x2 + y
2 = lím
(x,y)→(0,0)
y=−x
x→0
x(−x)
x2 =lím
+(−x) 2 x→0
−x2 −1
=
2x2 2
luego, de existir el límite, debería ser −1/2. Lo que contradice el resultado
anterior, y en consecuencia el límite doble no puede existir.
En general, los límites direccionales los haremos contemplando todas las
rectas a la vez, y no una a una, como se ha hecho aquí. Así, si nos acercamos
al origen a través de la recta y = mx se tiene
xy
lím
(x,y)→(0,0) x2 = lím
+ y2 (x,y)→(0,0)
y=mx
xy
x 2 + y
2 = lím
(x,y)→(0,0)
y=mx
x→0
=lím
x→0
xmx
x2 + m2 =
x2 m m
= = f(m)
1+m2 1+m2