Salvador Vera

4.9. FUNCIONES IMPLÍCITAS 303
Solución. (a) Mediante las reglas ordinarias de derivación tenemos:
6xz +3x2zx − 2xy2 +6z2 −6xz +2xy2
zx +3yzx =0 → zx =
3x2 +6z2 +3y
3x2zy +2x2y +6z2zy +3z +3yzy =0 → zy = 2x2y − 3z
3x2 +6z2 +3y
(b) Mediante el teorema de la función implícita, hacemos:
con lo cual,
F (x, y, z) =3x 2 z − x 2 y 2 +2z 3 +3yz − 5,
Fx(x, y, z) =6xz − 2xy 2
Fy(x, y, z) =−2x 2 y +3z
Fz(x, y, z) =3x 2 +6z 2 +3y
∂z
∂x
∂z
∂y
−Fx
=
Fz
−Fy
=
Fz
= −6xz +2xy2
3x 2 +6z 2 +3y
= 2x2 y − 3z
3x 2 +6z 2 +3y
Ejemplo 4.64. Razonar si la ecuación x 3 +2y 3 + z 3 − 3xyz − 2y +1=0;
determina una función z = f(x, y) en un entorno del punto (0, 1). Calcular
∂f ∂f
(0, 1), (0, 1) y la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto
∂x ∂y
(0, 1,f(0, 1)).
Solución. El teorema 4.15 de la función implícita afirma que una ecuación
F (x, y, z) = 0 define una función z = f(x, y) diferenciable en un punto
p = (x, y), si se cumplen las tres condiciones siguientes: el punto P =
(x, y, z) cumple la ecuación F (P ) = 0, las derivadas parciales de F en P son
continuas, y Fz(P ) = 0.
En nuestro caso, el punto P que cumple la ecuación dada viene definido por
las coordenadas:
x =0, y =1 → 2+z 3 − 2+1=0 → z = −1
Las derivadas parciales de F (x, y, z) =x 3 +2y 3 + z 3 − 3xyz − 2y +1 son
continuas en todo R 3 y por tanto en P , en efecto:
Fx(x, y, z) =3x 2 − 3yz
Fy(x, y, z) =6y 2 − 3xz − 2
Fz(x, y, z) =3z 2 − 3xy
Yademás: Fz(0, 1, −1) = 3 = 0 Luego podemos afirmar la existencia de la
función z = f(x, y) diferenciable en el punto p =(0, 1).
En virtud del teorema de la función implícita tenemos:
∂f
∂x (x, y) =−Fx(x, y, z)
Fz(x, y, z) = −3x2 +3yz
3z2 − 3xy
∂f
∂y (x, y) =−Fy(x, y, z)
Fz(x, y, z) = −6y2 +3xz +2
3z2 − 3xy
→ ∂f
∂x (0, 1) = −Fx(0, 1, −1)
= −1
Fz(0, 1, −1)
→ ∂f
∂y (0, 1) = −Fy(0, 1, −1) −4
=
Fz(0, 1, −1) 3