Salvador Vera

4.4. DIFERENCIABILIDAD 243
Continuidad en (0, 0). La función no es continua en el punto p(0, 0), ya
que no existe el límite en dicho punto.En efecto, si nos acercamos al punto
mediante la recta y = x resulta:
f(0, 0) = 0 + 0 = 0
lím
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lím
(x,y)→(0,0)
y=x
x 2 + y 2
xy =lím
x→0
2x2 =2= 0=f(0, 0)
x2 (el límite no existe en el punto p(0, 0), ya que si nos acercamos al mismo a
través de la recta x = 0 se obtendría 0 como límite).
Diferenciabilidad en (0, 0). Al no ser continua en el punto (0, 0), la función
no puede ser diferenciable en dicho punto.
En consecuencia, la función no es ni continua ni diferenciable en el punto
(0, 0) y, sin embargo, posee derivadas parciales en dicho punto.
4.4.5. Diferenciabilidad de funciones de n variables
El concepto de diferenciabilidad se puede extender a funciones de cualquier número de
variables, de manera análoga a como se ha hecho al caso de dos variable.
Definición 4.7. Se dice que la función f : D⊆R n → R definida en un conjunto abierto
D de R n , es diferenciable en el punto x0 =(x1,...,xn) ∈D, si existen las derivadas
parciales de f en x0
Ai = ∂f
(x0), i =1, 2,...,n
∂xi
ysielresiduor(h) definido en la expresión:
f(x0 + h) =f(x0)+
n
i=1
Aihi + r(h)
(donde h =(h1,...,hn) ∈ R n es tal que x0 + h ∈D) tiene la propiedad
r(h)
lím
h→0 h =0
Esta definición de diferenciabilidad también garantiza la continuidad de la función en
aquellos puntos en los que es diferenciable, como sucede con las funciones de una y dos
variable.
Nota: Con objeto de recorda mejor la expresión, el límite que caracteriza la diferenciabilidad
se puede expresar de la siguiente forma:
r(h)
lím = lím
h→0 h (h,k)→(0,0)
f(x0 + h) − f(x0) − Èn i=1 Aihi
Ô 2 h1 + ···+ h2 n
Y llamando ∆f = f(x0 + h) − f(x0) yλ(h) = Èn Aihi resulta
i=1
r(h)
lím
h→0 h =lím
h→0
∆f − λ(h) Ô 2 h1 + ···+ h2 =0
n
La Diferencial
Si la función f : D⊆R n → R es diferenciable en el punto x0 =(x1,...,xn) ∈D, entonces