Salvador Vera

4.8. REGLA DE LA CADENA 283
La fórmula (4.15) se comprende mejor si la desarrollamos en sus componente.
En efecto, si la función g depende de m variables, x1, ··· ,xm, (y1, ··· ,yn) =
g(x1, ··· ,xm), tendríamos la situación siguiente:
Rm g
−−→ Rn f
−−→ R
(x1, ··· ,xm) ↦→ (y1, ··· ,yn) ↦→ z
donde g es una función de n funciones coordenadas, cada una de ellas dependiendo
de las m variable x1, ··· ,xm. Al hacer la composición con f, se
obtiene la función f ◦g que depende, también, de las m variables x1, ··· ,xm.
Para estas funciones, las derivadas parciales de las fórmulas (4.15) se puede
expresar de la forma:
∂z
∂x1
∂z
∂xm
= ∂f ∂g1
+ ···+
∂y1 ∂x1
∂f ∂gn
∂yn ∂x1
= ∂f
∂y1
.
∂g1
∂xm
+ ···+ ∂f
∂yn
∂gn
∂xm
(4.16)
Es decir, de manera esquemática, pensando en términos de sustitución de
las variables, y usando la misma letras para denotar a las funciones así como
asusimágenes, tenemos:
z = f(y1, ··· ,yn)
y1 = y1(x1, ··· ,xm)
. yn = yn(x1, ··· ,xm)
⇒
Y forzando un poco más la notación, resulta,
z = z(y1, ··· ,yn)
y1 = y1(x1, ··· ,xm)
. yn = yn(x1, ··· ,xm)
⇒
Luego, según la regla de la cadena se tiene:
∂z
∂xj
=
n
i=1
∂z
∂x1
= ∂f ∂y1
+ ···+
∂y1 ∂x1
∂f ∂yn
∂yn ∂x1
.
∂z
∂xm
= ∂f ∂y1
+ ···+
∂y1 ∂xm
∂f ∂yn
∂yn ∂xm
∂z
∂x1
= ∂z ∂y1
+ ···+
∂y1 ∂x1
∂z ∂yn
∂yn ∂x1
.
∂z
∂xm
= ∂z ∂y1
+ ···+
∂y1 ∂xm
∂z ∂yn
∂yn ∂xm
∂z ∂yi
. j =1, 2,...,m (4.17)
∂yi ∂xj
Es evidente la ventajosa simplicidad de la fórmula de las derivadas parciales
de la función compuesta con esta presentación. Sin embargo, debemos hacer
notar que: 1 o no se hacen explícitos los puntos donde están calculadas las
derivadas, y 2 o se usan letras iguales para denotar cosas distintas, a saber:
las funciones y sus imágenes.