Salvador Vera

350CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
y
✻y
= f(x)
❛
❛
✲ x
Figura 5.15:
y
✻
y = F (x)
✲ x
F (x) =
x si x ∈ [0, 1]
−2x +3 six ∈ (1, 2]
x2 − 3
2
si x ∈ (2, 3]
B. Cálculo de primitivas.
5.3. Integración inmediata.
Definición 5.1 (Primitiva). Una función F (x) se llama primitiva de otra
función f(x) si F ′ (x) =f(x).
Proposición 5.1. Si una función tiene una primitiva, entonces tiene infinitas,
que se diferencian entre sí en una constante.
Definición 5.2 (Integral indefinida). Se llama integral indefinida de una
función f(x) al conjunto formado por todas sus primitivas, y se denota por:
f(x) dx = F (x)+C
Ejemplo 5.31. Hallar
x 3 +2x 2 +1 dx
Solución. Buscamos una primitiva del integrando, es decir una función tal
que al derivarla nos de el integrando. En consecuencia,
x 3 +2x 2 +1 dx = x 4
2x3
+ + x + C
4 3
Nota. Como consecuencia del Teorema fundamental del Cálculo se puede
afirmar que toda función continua tiene una primitiva. Pero eso no significa
que esa primitiva se pueda expresar en términos elementales. Por ejemplo
la integral Ê sen x
x
dx solamente se puede calcular desarrollando en series
el senx, con lo cual obtenemos como resultado de la integral, un desarrollo
en serie. Es decir, obtenemos el desarrollo en serie de la primitiva, pero no
obtenemos la primitiva expresada en términos elementales.
5.3.1. Propiedades de la integral indefinida
1. d ( Ê f(x) dx) =f(x) dx