Salvador Vera

1.3. FUNCIONES 37
Si f es inyectiva se dice que f es una inyección.
Función inversa. Se llama recíproca de una función a la correspondencia
que se obtiene al intercambiar las imágenes por los correspondientes originales
de dicha función. Evidentemente la recíproca de una función no tiene
por qué ser otra función. En efecto, basta que dos elementos diferentes tengan
la misma imagen, para que la recíproca asigne a esa imagen los dos
originales, lo que contradice la definición de función. Sin embargo, si la función
es inyectiva, entonces la recíproca es una función y, además, es inyectiva.
Es decir, si f es inyectiva desde A a B, entonces el conjunto de pares ordenados
en B × A que se obtienen al intercambiar las componentes de cada
uno de los pares ordenados de f da una función g que también es inyectiva.
Teorema 1.1 (Existencia de función la inversa). Una función posee
función inversa si y sólo si es inyectiva
A
Las relaciones entre una función f y su inversa g son las siguientes:
f
−−−→
←−−− B
g
Dg = Rf , Rg = Df
(a, b) ∈ f ⇔ (b, a) ∈ g obien b = f(a) ⇔ a = g(b)
La función g se llama función inversa o recíproca de f y se denota por f −1 .
En consecuencia:
A
f
−−−→
←−−− B
f −1
D f −1 = Rf , R f −1 = Df
(a, b) ∈ f ⇔ (b, a) ∈ f −1 obienb = f(a) ⇔ a = f −1 (b)
En consecuencia, se puede establecer la siguiente
Definición 1.14 (Función recíproca o inversa). Sea f una inyección
con dominio Df en A y rango Rf en B. Sig = {(b, a) ∈ B × A/(a, b) ∈ f},
entonces g es una inyección con dominio Dg = Rf en B yconrangoRg =
Df en A. La función g se llama función inversa de f y se denota por f −1
Desde el punto de vista del mapeo, la función inversa se puede interpretar
de la siguiente forma: Si f es inyectiva mapea elementos distintos de Df hacia
elementos distintos de Rf . De tal manera que cada elemento b de Rf es la
imagen bajo f de un único elemento a de Df . La función inversa f −1 mapea
el elemento b hacia este elemento único a.
Proposición 1.7 (Composición de funciones recíprocas). Dos funciones
son recíprocas si y solamente si, al componerlas se obtiene la identidad.
Es decir,
y
f f −1 (x) = x para todo x del dominio de f −1
f −1 f(x) = x para todo x del dominio de f