Salvador Vera

228 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
z
✻
•f(x)
f(p) •
❅
❅❅ z = f(x, y)
·
y0
p(x0,y0)
x0 •
❘
v ❅ t
❅❅
x✠
•
x(x, y)
Figura 4.2: Derivada direccional.
✲ y
Es decir, la derivada direccional
de la función f, en el punto p,
en la dirección del vector v, viene
definida por el límite:
f(x) − f(p)
Dvf(p) = lím
x→p t
donde x es un punto próximo a p
yademás situado en la dirección
marcada por el vector v, yt es la
longitud orientada del segmento
px , es decir, la longitud de este
segmento con signo positivo, si el
vector −→ px tiene la misma dirección
que el vector v, y con signo
negativo en caso contrario.
Para la derivada direccional usaremos cualquiera de las notaciones:
Dvf(p) = ∂f
∂v (p)
Desde el punto de vista gráfico, el problema se ha reducido a dos dimensiones
mediante la intersección de la superficie con el plano vertical que pasa
por el punto p y es paralelo al vector v. Este plano corta a la superficie mediante
una curva C, y definimos la pendiente de la superficie en (x0,y0,z0)
como la pendiente de la curva C en ese punto.
Cálculo de la derivada direccional conocido el vector director:
1. Vector director unitario u : Si el vector director es unitario resulta:
−→
px = |t| −→
⇒ px = tu ⇒ x − p = tu ⇒ x = p + tu
u =1
de donde,
f(p + tu) − f(p)
Dvf(p) =lím
t→0 t
(4.1)
2. Vector director no unitario v : Si el vector no es unitario, resulta:
−→
px = |t| −→
⇒ px = tv
v = 1
luego no podemos hacer la sustitución anterior. Por lo tanto, si el
vector no es unitario, hallamos el vector unitario de la misma dirección
y sentido que el dado, y a ese nuevo vector hallado le aplicamos el
resultado anterior.
u = v
v