Salvador Vera

4.6. PLANO TANGENTE 255
(b) A una superficie. De manera análoga, a lo anterior
vT =(dx, dy, dz) ↗
↘
y = cte. → vT =(dx, 0,dz) (1, 0, ∂z
∂x )
x = cte. → vT =(0,dy,dz) (0, 1, ∂z
∂y )
Vector normal a una curva plana
Se llama vector normal a una curva, en un punto de la misma, al vector
perpendicular a su recta tangente en dicho punto. Análogamente, se llama
vector normal a una superficie, en un punto de la misma, al vector perpendicular
a su plano tangente en dicho punto. Es evidente que si existe un
vector normal entonces existen infinitos, ya que si vp es un vector normal,
entonces también lo es λvp, conλ∈R (a) Curvas dadas de forma explícitas y = f(x)
Dada una función de una variable y = f(x) y un punto (x0,y0) de la misma,
el vector tangente a su gráfica en dicho punto vendrá definido por (dx, dy),
obien, h, f ′ (x0)h ,omás simplificado,vT = 1,f ′ (x0) , y en consecuencia,
el vector normal a la curva en el punto (x0,y0) vendrá definido por
vp = −f ′ (x0), 1
f(x0 + h)
y
✻
f(x0) P ✟
✟
✲x
✟✟✟✟✟✟✟
✟ ✟✟✟✟✯ dx
✟
✟
✟
dy
❆❑ Ó
❆
′ f (x0)h
❆
h
vp
x0 + h
x0
Q
y = f(x)
Figura 4.8: Vector normal a una curva.
Donde se ha tenido en cuenta que para calcular un vector perpendicular
a otro conocido del plano basta con cambiar las coordenadas de orden y una
de ellas de signo.
(b) Curvas dadas en forma implícita F (x, y) =0
Dada una curva plana de ecuación y = f(x), igualando a cero (o a una
constante) la ecuación, podemos considerar la curva y − f(x) = 0 como
una curva de nivel de una función de dos variables F (x, y) = 0, siendo
F (x, y) =y − f(x), con lo cual el vector gradiente de esta función será un