Salvador Vera

5.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 347
Solución. La sustitución directa da la indeterminación 0/0 queserompe
aplicando la Regla de L’Hôpital. En efecto,
Ê x0
cos t
lím
x→0
2 dt 0 cos x
= =lím
x 0 x→0
2
1 =1
Ejemplo 5.24. Hallar el límite lím
x→0 +
Ê sen x √
0 tg tdt
Ê tg x √
sen tdt
Solución. La sustitución directa da la indeterminación 0/0 queserompe
aplicando la Regla de L’Hôpital. En efecto,
lím
x→0 +
Ê sen x √
0 tg tdt
Ê tg x √ = lím
0 sen tdt x→0 +
tg(sen x)cosx
1
sen(tg x)
cos2 = lím
x→0
x
+
√
tg x cos3 x
√ =1
tg x
5.2.1. Regla de Barrow: La integral como una primitiva
Teorema 5.2 (Regla de Barrow). Si f es una función continua en el
intervalo cerrado [a, b] y G es una primitiva cualquiera de f, entonces:
b
f(x) dx = G(b) − G(a)
a
Demostración. Sea f continua en [a, b] yG una primitiva cualquiera de f.
Por ser f continua sobre [a, b], su función integral F (x) = Ê x
a f(t) dt será una
primitiva de f. En consecuencia tendremos dos primitivas de una misma
función que, por tanto, se diferenciaran en una constante G(x) =F (x)+C,
de donde,
G(b) =F (b)+C
G(a) =F (a)+C
de donde,
b
a
Observaciones:
G(b) = Ê ba f(t) dt + C
G(a) =0+C = C
f(t) dt = G(b) − G(a) ⇒
0
b
a
G(b) =
b
f(x) dx = G(b) − G(a)
a
f(x) dx + G(a)
1. La importancia de esta regla es fundamental, ya que pone en relación
las integrales con las derivadas. Sin embargo hay que advertir que
solamente es aplicable a funciones continuas definidas en intervalos
cerrados.
2. Para hallar la integral definida de una función continua en un intervalo
cerrado seguiremos el siguiente proceso:
a) Se halla una primitiva cualquiera de la función, sin tener en cuenta
la constante (la más sencilla).