Salvador Vera

1.5. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 57
1. Los infinitésimos (apartado 1.5.9, enlapágina 82).
2. Las reglas de L´Hôpital (apartado 3.3.3, enlapágina 173).
3. El desarrollo de Taylor (apartado 3.5.7, enlapágina 195).
4. El concepto de integral (apartado 5.1.2, enlapágina 334).
Así mismo estudiaremos los límites para funciones de varias variables en el capítulo 2.
Idea intuitiva. En el lenguaje ordinario la palabra límite tiene un carácter
estático y significa término, confín o lindero. Sin embargo, en Cálculo, el
concepto de límite es un concepto dinámico y tiene que ver con la idea
de acercarse los más posible a un punto o un valor (x → x0). En otras
ocasiones tiene que ver con la idea de alejarse lo más posible del origen, o
hacer lo mas grande posible un número (x →∞). Y, en otras ocasiones, el
concepto de límite tiene que ver con traspasar una frontera, aparentemente
infranqueable, como es el caso de la suma de infinitos números. Veamos la
noción de límite a partir de un ejemplo.
Ejemplo 1.41. Dada la función f(x) = x2 − 1
, x = 1
x − 1
a) Estudiar su comportamiento en los alrededores del punto x =1
b) Esbozar su gráfica.
Solución. a) Para estudiar el comportamiento de la función en los alrededores
del punto x =1damosax valores cada vez más próximos a 1. Aproximándonos
tanto por la izquierda como por la derecha. Los correspondientes
valores de f(x) se muestran en la siguiente tabla
x se acerca a 1 por la izquierda x se acerca a 1 por la derecha
x 0.5 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25 1.5
f(x) 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 ? 2.001 2.01 2.1 2.25 2.5
f(x) seacercaa2 f(x) seacercaa2
b) Al representar estos puntos, se ve que la gráfica de f es una recta con un
hueco en el punto (1, 2) (véase Figura 1.25).
Aunque x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos a 1 cuanto queramos
y como resultado f(x) se aproxima cuanto queramos al valor 2. Por
eso decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 2, y lo denotamos
como
x
lím f(x) =2 obien, lím
x→1 x→1
2 − 1
x − 1 =2
En consecuencia podemos dar la siguiente descripción intuitiva del concepto
de límite. Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es ℓ, si