Salvador Vera

3.3. LÍMITE DE FUNCIONES 179
1. lím(1+2
x→0 x +3 x ) 1
x =(1+2 0 +3 0 ) 1
0 =3 1
0 =
luego el límite no existe.
2. lím
x→+∞ (1 + 2x +3 x ) 1
x =(1+2 +∞ +3 +∞ ) 0 = ä ∞ 0ç →
y = lím
x→+∞ (1 + 2x +3 x ) 1
x
ln y = lím
x→+∞ ln(1 + 2x +3 x ) 1 ln(1 + 2
x = lím
x→+∞
x +3x )
x
2 x ln 2 + 3 x ln 3
1+2 x +3 x
1
3 0 + =3 +∞ =+∞
3 1
0− =3−∞ = 1
=0
3 +∞
= ä∞ç
=
∞
2
= lím
= lím
x→+∞ 1
x→+∞
x ln 2 + 3x ln 3
1+2x +3x ä∞ç
= =
∞
2
= lím
x→+∞
x
3x
ln 2 + ln 3
3x 3x 0+ln3
x x = lím
1 2 3 x→+∞ 0+0+1
+ +
3x 3 3
=ln3
luego,
ln y =ln3→ y =3
En este ejemplo no ha sido posible aplicar L’Hôpital por segunda vez,
ya que con dicha regla no es posible “romper”la indeterminación.
3. lím
x→−∞ (1 + 2x +3 x ) 1
x =(1+0+0) 0 =1 0 =1
Ejemplo 3.35. Calcular:
Solución.
lím
x→a
πx
x tg
lím 2 − 2a
x→a a
πx
x tg ä
2 − 2a ∞
= 1
a
ç = e lím
πx
tg
x→a 2a
= e
lím
x→a
π
2a
x
1 −
a
−1
a
−1
= e
sen 2 πx
2a = e lím
x→a
lím
x→a
x
1 −
a
cot πx
2a =
2a sen2 πx
2a
πa = e 2
π
Ejemplo 3.36. Estudiar el dominio y continuidad de la función:
f(x) =
2+cos 1
x
3+e 1
x
2
3
si x = 0
si x =0