Salvador Vera

138 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: LÍMITES
El límite no existe ya que depende del valor de m. Es decir, según la recta
por la que nos aproximemos al punto tendríamos un valor del límite u otro.
Así, si consideramos dos trayectorias diferentes de acercamiento, tenemos:
Para m =1,nosestaríamos moviendo por la recta y = x, ysería l =1/2,
mientras que para m = −1, estaríamos moviéndonos por la recta y = −x, y
sería l = −1/2. y al haber encontrado dos caminos que conducen a límites
diferentes podemos afirmar que el límite no existe. En efecto, esto quiere
decir que en cualquier disco abierto centrado en (0, 0) hay puntos (x, y) en
los cuales f toma los valores 1/2 y−1/2. Luego f no puede tener límite
cuando (x, y) → (0, 0).
En este ejemplo podemos visualizar lo que ocurre en el origen de una manera muy
gráfica. Imaginemos una alfombra de goma, con un agujero en el centro, y la atravesamos
con dos listones, uno por debajo y el otro por encima, de manera que se crucen en el
agujero (el de abajo de la alfombra pasaría por encima del otro). El que está porencima
de la alfombra lo fijamos al suelo y el que está por debajo lo levantamos hasta una altura
de un metro, sin que se rompa la alfombra. Es evidente que el agujero se estira todo el
metro.
Figura 2.38: f(x, y) = xy
x 2 +y 2
Observación. Podemos observar que aunque la función f, del ejemplo anterior,
definida por
f(x, y) = xy
x 2 + y 2
sólo es discontinua en el punto (0, 0), sin embargo, dicha discontinuidad es
inevitable, ya que no es posible redefinir la función en (0, 0), de manera que
sea continua en dicho punto, puesto que el límite en (0, 0) no existe.
Ejemplo 2.35. Demostrar que el siguiente límite no existe.
lím
(x,y)→(0,0)
y 2
x + y 2
Solución. Nos acercamos al origen a través de la recta y = mx.
y
lím
(x,y)→(0,0)
2
= lím
x + y2 y
(x,y)→(0,0)
y=mx
2
m
=lím
x + y2 x→0
2x2 x + m2 m
=lím
x2 x→0
2x 1+m2x =0