Salvador Vera

5.1. LA ESTIMACIÓN DE UN ÁREA. SUMAS DE RIEMANN. 335
1
0
y
✻
y = f(x)
1
n
2
n
1
f(x) dx = lím f(
n→∞ n
1
= lím
n→∞ n
= lím
n→∞
3
n
··· 1
Figura 5.8:
✲ x
1
) =
n
1 2 1
) + f( ) + ···+ f(n
n n n n
1 2
f( )+f( )+···+ f(n
n n n ) =
1 n
f(
n
k
n )
k=1
Y viendo la igualdad de derecha a izquierda, tenemos:
lím
n→∞
1
n
f( 1
n
2
)+f( )+···+ f(n
n n ) 1
= lím
n→∞ n
n
k=1
f( k
n )=
1
0
f(x) dx
lo que nos permite calcular el límite de algunas sumas a partir del concepto
de integral.
Ejemplo 5.4. Calcular el siguiente límite:
lím
n→∞
1
+
1+n2 2
22 + ···+
+ n2 n
n2 + n2
Solución. Sacamos factor común la base de los rectángulos, 1/n, y el resto
lo expresamos en función de k/n.
lím
n→∞
1
+
1+n2 n
n2 + n2
=
2
22 + ···+
+ n2
1 n 2n
= lím
+
n→∞ n 1+n2 22 + n
1 1/n 2/n
= lím
+
n→∞ n
( 2
( 1
n )2 +1
1
= lím
n→∞ n
n
n2
+ ···+ 2 n2 + n2 n )2 +1 ++···+
k=1
Ejemplo 5.5. Calcular el siguiente límite:
lím
n→∞
k/n
( k
n )2 +1 =
n
n2 n
+
+1 n2 + ···+
+4
=
1
( n
n )2
=
+1
1 x
x2 ln 2
dx =
+1 2
0
n
n2 + n2