Salvador Vera

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226 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES Derivadas parciales de tercer orden Si además, las derivadas parciales de tercer orden son continuas, entonces no importa el orden de derivación de las derivadas parciales cruzadas de tercer orden. En consecuencia, si hacemos las derivadas parciales de tercer orden, resultan 23 = 8 derivadas, pero si son continuas se reducen a 3 + 1 = 4 derivadas distintas: f fx fy Ò fxxx fxx fxxy Ò fxyx fxy fxyy Ò fyxx fyx fyxy Ò fyyx fyy fyyy Si son continuas → f ↗ fx ↘ fy ↗ ↘ ↗ ↘ fxx fxy fyy ↗ ↘ ↗ ↘ ↗ ↘ fxxx fxxy fxyy fyyy Es decir, si las derivadas parciales son continuas no importa el orden de derivación, sino el número de veces que se ha derivado respecto de cada variable. Ejemplo 4.15. Hallar las derivadas parciales de tercer orden de la función: Solución. f(x, y) =x 2 +2xy 2 − y 3 f(x, y) =x 2 +2xy 2 − y 3 fx =2x +2y ↗ ↘ 2 ↗ ↘ fy =4xy − 3y2 ↗ ↘ fxx =2 fxy =4y ↗ ↘ ↗ ↘ fyy =4x − 6y ↗ ↘ fxxx =0 fxxy =0 fxyy =4 fyyy = −6 Derivadas parciales de orden n Si hacemos las derivadas parciales de orden n, resultan 2n derivadas, pero si son continuas se reducen a n+1 derivadas distintas. Es decir, si las derivadas parciales son continuas no importa el orden de derivación, sino el número de veces que se ha derivado respecto de cada variable. Ahora bien, aunque el resultado final de las derivadas parciales no depende del orden de derivación, el proceso de derivación puede resultar mucho más complicado en un orden que en otro. Ejemplo 4.16. Dada la función f(x, y) = xy y 2 + z 2 .HallarD2311f y D1132f
4.3. DERIVADAS DIRECCIONALES. 227 Solución. D2311f = D231 D1f = D231 D1132f = D113 D2f = D113 = D11 = D11 y y 2 + z 2 =0 x(y2 + z2 ) − xy2y (y2 + z2 ) 2 2xz(y2 + z2 ) 2 − (xz2 − xy2 )2(y2 + z2 )2z 2xz(3y 2 − z 2 ) (y 2 + z 2 ) 3 (y2 + z2 ) 4 2z(3y2 − z2 ) (y2 + z2 ) 3 = D1 4.3. Derivadas direccionales. 4.3.1. Derivadas direccionales = D113 =0 = xz 2 − xy 2 (y 2 + z 2 ) 2 = Las derivadas parciales fx(x, y) yfy(x, y), representan, respectivamente, la pendiente de la superficie z = f(x, y) en las direcciones del eje OX y del eje OY . Para hallar la pendiente en cualquier otra dirección se utilizan las derivadas direccionales. Es decir, las derivadas parciales nos dan una medida de la variación de una función solamente en la dirección de cada eje coordenado. Es natural buscar un concepto más general de derivada a fin de que nuestras consideraciones no queden restringidas a las direcciones particulares de los ejes coordenados y nos permita estudiar la razón de incrementos en una dirección cualquiera. La derivada direccional responde a este propósito. Queremos estudiar la variación de la función f en el punto p cuando el argumento varía en la dirección marcada por el vector v. Para ello partimos de la idea del concepto de derivada de funciones de una variable “el límite, cuando el incremento de la variable tiende a cero, del cociente del incremento de la función dividido entre el incremento de la variable”.
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