Salvador Vera

4.7. FUNCIONES VECTORIALES Y MATRIZ JACOBIANA 275
AlamatrizJf(x0) selellama✭✭matriz Jacobiana✮✮ de la función f en el punto x0.
Ahora bien, teniendo en cuenta que la función f =(f1,f2, ··· ,fm), será:
∂f ∂f1
= ,
∂xi ∂xi
∂f2
, ··· ,
∂xi
∂fm
∂xi
Con lo cual resulta que la matriz jacobiana es,
Jf =
∂f1
∂x1
∂f2
∂x1
∂fm
∂x1
∂f1
∂x2
∂f2
∂x2
∂fm
∂x2
···
···
···
···
¡
∂f1
∂xn
∂f2
∂xn
∂fm
∂xn
i =1, 2, ··· ,n
ã
=
∇f1
∇f2
.
∇fm
Observaciones:
(a) Abreviadamente, una matriz A se escribe A =[aij], siendo el elemento aij el elemento
perteneciente a la fila i y la columna j. Así, la matriz jacobiana se puede
expresar como:
Jf(x) = ¢ Djfi(x) £ å è
∂fi
= (x)
∂xj
(b) Los elementos de la fila i de la matriz jacobiana coinciden con las componentes del
vector gradiente ∇fi(x)
(c) Para m =1setieneJf(x0) =∇f(x0).
(d) Para n = m, el determinante de la matriz Jf(x0) se llama jacobiano . Para el
jacobiano también se utiliza la siguiente notación:
∂(f1,...,fn)/∂(x1,...,xn) =det ¢ Djfi(x) £ = ¬Jf(x)¬
(e) Si comparamos la expresión de la diferencial de una función de una variable, de
una función de varias variables y de una función vectorial tenemos:
1.- Para funciones de una variable tenemos: df = f ′ (x) · h
2.- Para funciones de varias variables: df = ∇f · h
3.- Para funciones vectoriales: df = Jf · h
donde se ha usado, respectivamente, el producto numérico, el producto escalar y el
producto matricial.
(f) Si se comparan las tres expresiones, se observa que el gradiente, ∇f, puede pensarse
como la generalización del concepto de derivada para funciones de varias variables,
y la matriz jacobiana, Jf, para funciones vectoriales. Si bien, hay que advertir que
mientras que la derivada de una función de una variable en un punto es un número,
la derivada de una función de varias variables es un vector, y la derivada de una
función vectorial una matriz.
Ejemplo 4.49. Hallar el diferencial de la función vectorial f : R 2 → R 2 definida por:
f(x, y) =(x 2 +3y 2 , 5x 3 +2y 6 )
Solución. El Jacobiano de la función viene definido por:
DZ
∂f1 ∂f1 ∂x ∂y 2x
Jf =
=
∂f2 ∂f2 15x
6y
∂x ∂y
2
12y 5
à