Salvador Vera

170 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
3.2.8. Aproximación lineal y notación diferencial
Aproximación lineal: Consiste en aproximar una función, en los alrededores
de un punto, mediante la recta tangente a la función en ese punto. Es
decir, para calcular los valores de la función en los puntos próximos a uno
conocido, en vez de sustituir las coordenadas de dichos puntos en la fórmula
de la función las sustituimos en la ecuación de la recta tangente, y tomamos
el valor obtenido como una aproximación del buscado.
Equivale a aproximar el incremento por el diferencial.
Teniendo en cuenta que:
Resulta:
Obien:
△f ≈ df
△f(x0) =f(x0 + △x) − f(x0)
tg α = f ′ (x0) = df
△x → df = f ′ (x0)△x
f(x0 + △x) ≈ f(x0)+f ′ (x0)△x
f(x) ≈ f(x0)+f ′ (x0)△x
y
f(x)
f(x0)
✻
x0
Q
y = f(x)
✲x f(x) − f(x0) P
✟
✟
x − x0
✟✟✟✟
α
✟
✟
✟
x
Figura 3.22: △f ≈ df
Teorema 3.3 (Teorema de aproximación lineal). Si la función es derivable
en el punto x, entonces la diferencial es una buena aproximación del
incremento.
Es decir, la curva y la recta tangente están muy pegadas en los alrededores
del punto, y por lo tanto, el error en la función es mucho menor que el error
en la x.