Salvador Vera

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374CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Solución. Formamos previamente el binomio cuadrado en el radicando. 4x − x 2 = − ä x 2 − 4x ç = − ä (x − 2) 2 − 4 ç =4− (x − 2) 2 de donde, aplicando la sustitución x − 2=2sent, transformamos la integral en una integral trigonométrica, en efecto, 4x − x2 dx = 4 − (x − 2) 2 x − 2=2sent dx = = dx =2costdt = 4 − 4sen2t2costdt=4 1 − sen2 t cos tdt= 2 1+cos2t =4 cos t cos tdt=4 cos tdt=4 dt =2 2 ä sen 2tç t + + C = 2 x − 2 − 2 1 =2t +2sentcos t + C =2arcsen +2x 4x − x2 + C = 2 2 2 x − 2 x − 2 =2arcsen + 4x − x2 + C 2 2 de donde, se han tenido en cuenta las siguientes fórmulas: cos 2 t = 1+cos2t , sen 2t =2sentcos t 2 y al deshacer el cambio, se ha tenido en cuenta que: Ö x − 2 − 2 x − 22 1 sen t = → t =arcsenx , cos t = 1 − = 4x − x2 2 2 2 2 Ejemplo 5.72. Calcular la integral 4+x2 dx Solución. Aplicamos la sustitución x =2senhtytransformamos la integral en una integral hiperbólica. 4+x2 dx =2 æ é x 2 x/2 =senht 1+ dx = = 2 dx =2coshtdt 2 1+cosh2t =2 cosh t · 2 cosh tdt=4 cosh tdt=4 dt = 2 t senh 2t =4 + + C =2t +senh2t + C = 2 4 = 2 arg senh x +2senhtcosh t + C = 2 x =2ln 2 + x 2 1+ +2 2 x x 2 1+ + C = 2 2 =2ln x + √ 4+x2 + 2 x 4+x2 + C = 2 x =2ln x + 4+x2 + 4+x2 + C 2
5.9. PROBLEMAS PROPUESTOS DEL CAPÍTULO 5 375 5.9. Problemas propuestos del Capítulo 5 Ejercicios propuestos del Capítulo 5 5.1. Calcular las siguientes integrales 2 3 a) sen x cos xdx Problemas resueltos del Capítulo 5 5.1. Solución. Problemas propuestos del Capítulo 5 5.1. Soluciones en la página ?? Soluciones en la página 391
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