Salvador Vera

4.5. GRADIENTE 249
Hallamos las derivadas parciales en el punto p(1, 1)
de donde,
fx =2x
fy =2y
fx(1, 1) = 2
fy(1, 1) = 2
Du f(1, 1) = fx(1, 1)u1 + fy(1, 1)u2 =2 1
2 +2
√
3
2 =1+√3 4.4.9. La derivada según una dirección curva
La derivada direccional también se puede aplicar para direcciones curvas. En este caso se
entiende que el vector director es el vector tangente a la curva.
Vector tangente a una curva plana
f(x0)
y
✻
✲x P ✟
✟ ✟✟✯ dy
dx
x0
y = f(x)
Figura 4.6: Vector tangente.
Como vector tangente podemos elegir cualquiera de
los vectores siguientes, todos ellos paralelos entre sí:
vT =(dx, dy) (1, dy
dx )= 1,y ′ (x) ¡ x ′ (t),y ′ (t) ¡
Ejemplo 4.30. Calcular la derivada del campo escalar z =arctan(xy) en el punto
p(1, 1), según la dirección de la parábola y = x 2 , en el sentido del crecimiento de la
abscisa.
Solución. Hallamos el vector tangente unitario a la parábola y = x 2 ,enelpuntop(1, 1),
con la primera componente positiva.
vT = 1,y ′ (x) ¡ =(1, 2x) → vT (1, 1) = (1, 2)
|vT (1, 1)| = √ 1+4= √ 5 → uT (1, 1) = ( 1 √ 5 , 2 √ 5 )
Hallamos las derivadas parciales de la función en el punto p
∂z
∂x =
y
1+x2y2 ∂z
∂y =
x
1+x2y2
∂z 1 1
(1, 1) = = de donde,
∂x 1+1 2
∂z x 1 ∂z
(1, 1) = = =
∂y 1+1 2 ∂uT
1 1
√ +
2 5 1 2
√ =
2 5 3
2 √ 5
4.5. Gradiente
4.5.1. Definición
Si la función es diferenciable, entonces la derivada direccional y el diferencial
recuerdan un producto escalar
Du f = fxu1 + fyu2 =(fx,fy) · (u1,u2) = −→
∇f ·u
df = fxdx + fydy =(fx,fy) · (dx, dy) = −→
∇f · vT