Salvador Vera

4.9. FUNCIONES IMPLÍCITAS 297
nivel cero, F (x, y) = 0, una curva que se puede ver como la gráfica de una
función y = f(x)?. Así mismo, si conocemos algo referente a la continuidad
o diferenciabilidad de F ¿qué podemos concluir en relación a la continuidad
o diferenciabilidad de f?
El teorema de la función implícita trata localmente esta cuestión. Es decir,
hacemos un planteamiento local de la cuestión anterior: Dada la función
z = F (x, y), sea (x0,y0) un punto para el cual F (x0,y0) =0.DeF (x, y) =0,
¿se puede obtener (despejando y en términos de x) una función y = f(x),
definida en una vecindad de x0, tal que y0 = f(x0)? Cuando tal entorno y
tal función y = f(x) existen, decimos que la función y = f(x) está definida
implícitamente por la expresión F (x, y) = 0, o bien que es una función implícita
dada en F (x, y) =0.
Gráficamente, la situación puede visualizase, en el ejemplo de la circunferencia,
de la siguiente forma:
−1
y
✻
♠
✲x ♠
1
Figura 4.21: x 2 + y 2 =1
La ecuación x 2 + y 2 = 1, en general no define
una sola función y = f(x), sin embargo,
si nos limitamos a un entorno del punto
(1/ √ 2, 1/ √ 2), sí que queda definida una sola
función (reduciéndonos a ese entorno), mientras
que en un entorno del punto (1, 0) no queda
definida dicha función (ya que cada punto
tendría dos imágenes, al haber dos puntos en
la misma vertical).
El teorema de la función implícita resuelve localmente la cuestión planteada,
y nos dice que, dado un punto (x0,y0) tal que F (x0,y0) = 0, en
determinadas condiciones existirá un entorno de (x0,y0) de manera que, en
este entorno, la relación definida por F (x, y) = 0 es también una función.
Esas condiciones son que Fx y Gy sean continuas en un entorno de (x0,y0)
yqueFy(x0,y0) = 0. El teorema de la función implícita también nos dice
que dicha función, y = f(x), tiene derivada continua y nos da la manera de
calcular dicha derivada, y ′ = −Fx/Fy.
Planteamiento práctico. Supongamos la ecuación F (x, y) = 0, si supiéramos
despejar y en términos de x, tendríamos y = f(x), y podríamos calcular
dy
dx =?.
F (x, y) =0 → y = f(x) → dy
dx =?
El problema se presenta cuando no sabemos o no queremos despejar y en
términos de x ¿cómo podemos calcular dicha derivada?.
Partamos de que F (x, y) = 0, será dF (x, y) = 0, de donde
dF = Fxdx + Fydy =0 → dF
dx
dx
= Fx
dx
dy
+ Fy
dx =0 → Fx
dy
+ Fy
dx =0