Salvador Vera

286 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Demostración. Puesto que g y h son funciones derivables respecto de t,
resulta que ambos ∆x y∆y tienden a cero cuando ∆t tiende a cero. Además,
al ser f una función diferenciable de x ydey, setieneque
∆z = ∂z ∂z
∆x +
∂x ∂y ∆y + ε1∆x + ε2∆y
donde ε1 y ε2 → 0 cuando (∆x, ∆y) → (0, 0). Luego para ∆t = 0,setiene
∆z
∆t
de donde se deduce que
dz
dt =lím
∆z
δt→0 ∆t
∂z ∆x ∂z ∆y ∆x ∆y
= + + ε1 + ε2
∂x ∆t ∂y ∆t ∆t ∆t
∂z dx ∂z dy
= +
∂x dt ∂y dt +0
dx
+0
dt
dy ∂z dx ∂z dy
= +
dt ∂x dt ∂y dt
Ejemplo 4.53. Dada la función z = x 2 y − y 2 , donde x =sent, y = e t .
Hallar dz/dt cuando t =0,
(a) Por sustitución previa
(b) Mediante la Regla de la Cadena.
Solución. (a) Mediante la sustitución previa es un proceso elemental, basta
con sustituir x e y por sus valores y derivar una vez hecha la sustitución.
z = x 2 y − y 2
x =sent
y = et
t 2 2t
→ z = e sen t − e
de donde,
y, en consecuencia, resulta
dz
dt = et sen 2 t +2e t sen t cos t − 2e 2t
dz
=1· 0+2· 1 · 0 · 1 − 2 · 1=−2
dt t=0
(b) Aplicando la Regla de la Cadena, resulta
dz
dt
∂f dx ∂f dy
= +
∂x dt ∂y dt =(2xy)cost +(x2 − 2y)e t
Que podemos expresarlo en términos de t, o dejarlo como está. En consecuencia,
dado que
x =0
t =0⇒
y =1
resulta:
dz
=0+(0−2) · 1=−2
dt t=0
Ejemplo 4.54. La altura de un cono recto circular mide 15 cm. y aumenta
arazón de 0 ′ 2 cm. cada minuto. El radio de la base mide 10 cm. y aumenta
a razón de 0 ′ 3 cm. cada minuto. Hallar la variación de volumen que
experimenta en la unidad de tiempo.