Salvador Vera

160 CAPÍTULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Ejemplo 3.11. Hallar, aplicando la definición, la derivada de la función:
f(x) = √ x
Solución. Podemos aplicar la definición de derivada en cualquiera de sus dos
formas:
f ′ √ √
f(x) − f(c) x − c
(c) =lím
=lím
x→c x − c x→c x − c =lím
(
x→c
√ x − √ c)( √ x + √ c)
(x − c)( √ x + √ c) =
=lím
x→c
x − c
(x − c)( √ x + √ c) =lím
x→c
f ′ √ √
f(x + h) − f(x) x + h − x
(x) =lím
=lím
=
h→0 h
h→0 h
(
=lím
h→0
√ x + h − √ x)( √ x + h + √ x)
h( √ x + h + √ =lím
x)
h→0
3.2.2. Reglas de derivación.
Derivada y operaciones:
función derivada
rf rf ′
f + g f ′ + g ′
f · g f ′ g + fg ′
1
g
f
g
1
√ √ =
x + c 1
2 √ c ⇒ f ′ (c) = 1
2 √ x
−g ′
g2 f ′ g − fg ′
g 2
x + h − x
h( √ x + h + √ x) =
1
=lím √ √ =
h→0 x + h + x 1
2 √ x
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena:
h(x) =g ä f(x) ç =⇒ h ′ (x) =g ′ä f(x) ç · f ′ (x)
que se puede expresar de la forma:
dh dg df
=
dx df dx
dz dz dy
=⇒ =
dx dy dx
Derivada de la función recíproca o inversa:
y = f(x) =⇒ dx
dy
= 1
dy/dx =⇒ x′ y = 1
y ′ x