Salvador Vera

36 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
g : I ⊆ R → R, f : J ⊆ R → R (tales que g(I) ⊆ J), se llama composición
de f con g y se denota f ◦ g : I ⊆ R → R, a la función (f ◦ g)(x) =f g(x) .
g : I ⊆ R → R
f : J ⊆ R → R
I g −→ J f −→ R
f ◦ g : I ⊆ R → R (f ◦ g)(x) =fg(x)
En el caso de que no se cumpla la condición g(I) ⊆ J, la composición también
es posible, siempre que g(I) ∩ J = ∅. En tal caso habrá que restringir las
funciones a aquellos puntos en los que la composición sea posible. Es decir,
a los puntos del dominio de la primera que tienen su imagen en el dominio
de la segunda.
Ejemplo 1.25 (Componiendo funciones). Dada las funciones
Hallar f ◦ g(x) y g ◦ f(x)
f(x) =3x − 1 y g(x) =x 2 +2
Solución. Tenemos que f ◦ g(x) =f g(x) , luego, bastará con sustituir en
f(x) el valor de x por g(x). Así,
f ◦ g(x) =f g(x) =3g(x) − 1=3(x 2 +2)− 1=3x 2 +6− 1=3x 2 +5
Mientras que g ◦f(x) =g f(x) , luego, bastará con sustituir en g(x) el valor
de x por f(x). Así,
g◦f(x) =g f(x) = f(x) 2 +2 = (3x−1) 2 +2 = 9x 2 −6x+1+2 = 9x 2 −6x+3
Nota: Como se observa en este ejemplo, en general, la composición de funciones no cumple
la propiedad conmutativa. Es decir, f ◦ g = g ◦ f.
1.3.6. Funciones inyectivas e inversas
Función inyectiva. Una función se dice que es inyectiva cuando elementos
distintos tienen imágenes distintas, es decir, cuando no existen dos elementos
distintos con la misma imagen. Por tanto, f es inyectiva si y sólo si:
f(a) =f(a ′ ) ⇒ a = a ′
O bien, alternativamente, f es inyectiva si y sólo si, para a y a ′ en Df ,se
tiene
a = a ′ ⇒ f(a) = f(a ′ )
Formalmente se puede establecer la siguiente definición:
Definición 1.13 (Función inyectiva). Sea f una función con dominio
Df en A y rango Rf en B. Se dice que f es inyectiva o uno a uno si, cada
vez que (a, b) y (a ′ ,b) son elementos de f, entoncesa = a ′