Salvador Vera

5.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 343
y
✻
x 3
0 1 2
✲ x
√ x
0 ≤ x ≤ 1 → √ x ≥ x 3 ⇒
1 ≤ x ≤ 2 → √ x ≤ x 3 ⇒
1
0
2
1
√ xdx≥
√ xdx≤
5.2. El teorema fundamental del Cálculo
La función integral o función área
1
0
2
1
x 3 dx
x 3 dx
Dada una función integrable en un intervalo cerrado [a, b], se define su función
integral sobre dicho intervalo como el área bajo la curva desde el punto
a hasta un punto variable t ∈ [a, b] O bien, dado que es más habitual hablar
y ✻
y = f(x)
✲x F (t)
a x t b
Figura 5.10:
F (t) =
t
a
f(x) dx
de F (x) en lugar de F (t), basta con intercambiar los papeles de ambas variables.
y ✻
y = f(x)
✲x F (x)
a t x b
Figura 5.11:
Teorema fundamental del Cálculo
F (x) =
x
a
f(t) dt
Teorema 5.1. Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b],
entonces su función integral, F (x) = Ê x a f(t) dt a ≤ x ≤ b, escontinuaen
[a, b] y derivable en (a, b), y su derivada F ′ (x) =f(x).
f continua en [a, b]
F (x) = Ê x a f(t) dt
F ′ (x) =f(x)