Salvador Vera

278 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
tienen rango en R y dominio en R n . Por lo tanto, los campos escalares solamente se podrán
componer con funciones de una sola variable, por la derecha; o con funciones vectoriales,
por la izquierda. Es decir,
R n f −→ R g −→ R R m g −→ R n f −→ R
Pensando en la sustitución de las variables, para componer la función z = f(x, y) tendremos
que sustituir las dos variables x e y, respectivamente, por dos funciones g1 y g2
que las conecten con otras variables, donde g1 y g2 pueden ser funciones de una o varias
variables (ambas de las mismas). Así, si consideramos las funciones
x = g1(u, v), y = g2(u, v)
podemos sustituir en la función z = f(x, y) y obtener la función compuesta:
z = f g1(u, v),g2(u, v) ¡
que en esquema sería:
z = f(x, y)
x = g1(u, v)
y = g2(u, v)
z = f g1(u, v),g2(u, v) ¡
Ahora bien, la pareja de funciones x = g1(u, v), y = g2(u, v) puede considerarse como
las componentes de una sola función vectorial g : D⊆R 2 → R 2 ,detalmaneraquea
cada punto (u, v) ∈Dla función g le asocia el punto g(u, v) ∈ R 2 , cuyas coordenadas son
(x, y) = g1(u, v),g2(u, v) ¡ . O sea, g(u, v) = g1(u, v),g2(u, v) ¡ . Y esto permite interpretar
la sustitución de las variables como la aplicación sucesiva de dos funciones.
En esquema sería:
de donde,
R 2 g −→ R 2 f −→ R
(u, v) ↦→ (x, y) ↦→ z
f ◦ g(u, v) =f g(u, v) ¡ = f g1(u, v),g2(u, v) ¡
Ejemplo 4.50. Hallar la funcióncompuestadelafunción f(x, y) =xy 2 + xy con las
funciones
x = g1(u, v) =u + v e y = g2(u, v) =uv
Solución. Si queremos interpretar la composición como la aplicación sucesiva de dos funciones,
consideramos la función vectorial
luego, en esquema, resulta
g(u, v) = g1(u, v),g2(u, v) ¡ =(u + v, uv)
f(x, y) =xy 2 + xy
g(u, v) =(u + v, uv)
de donde, la composición buscada, será:
R 2 f −→ R
R 2 g −→ R 2
R 2 g −→ R 2 f −→ R
(u, v) ↦→ (x, y) ↦→ z
h(u, v) =(f ◦ g)(u, v) =f g(u, v) ¡ = f g1(u, v),g2(u, v) ¡ = f(u + v, uv) =
=(u + v)(uv) 2 +(u + v)uv = u 3 v 2 + u 2 v 3 + u 2 v + uv 2
Nótese que la función resultante de la composición es una función distinta de f, g, g1 y
g2, es decir, es una nueva función h, tal que f(x, y) =h(u, v) = f(u, v)
En la práctica se pueden simplificar los cálculos, sustituyendo directamente:
f(x, y) =f(u + v, uv) =(u + v)(uv) 2 +(u + v)uv = u 3 v 2 + u 2 v 3 + u 2 v + uv 2 = h(u, v)