Salvador Vera

98 CAPÍTULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: LÍMITES
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Figura 2.6: Campo radial en R 2
de aplicación, también es usual definir las funciones dando simplemente la
regla z = f(x), sin especificar el dominio D. En tal caso se entiende que
el dominio viene implícito en la propia fórmula, y queda determinado por
todos aquellos valores para los cuales tiene sentido aplicar la fórmula que
define la función. O sea, el dominio está formado por todos aquellos valores
tales que al sustituirlos en la fórmula y realizadas las operaciones indicadas
se obtiene un valor numérico y no una operación imposible. Es decir, se
entiende que el dominio de la función f es el mayor subconjunto D de Rn para el cual la regla f(x) tiene sentido (si el dominio es más pequeño hay
que indicarlo). Por ejemplo, si definimos la función a = 1
2xy el dominio sería
cualquier pareja de números reales (x,y). Ahora bien, si queremos que esa
función represente el área de un triángulo, los valores x e y tienen que ser
positivos. Por lo tanto dicha restricción habrá que indicarla junto con la
fórmula a = 1
2xy x > 0, y > 0. Si no se indica ninguna restricción estamos
suponiendo que el dominio es el máximo “permitido”por la fórmula. El
conocimiento del dominio nos permite saber qué valores pueden sustituirse
en la fórmula y cuales no.
El dominio de una función de dos variables f(x, y) será una región del
plano, y el dominio de una función de tres variables f(x, y, z) una región del
espacio. Y vendrá determinado por la propia fórmula (dominio implícito), o
bien, por una restricción arbitraria que nosotros impongamos.
Se llama Rango o Recorrido de una función al conjunto de elementos
que son imagen. En general, nos ocuparemos del Dominio y sólo en casos
particulares nos ocuparemos del Recorrido.
Ejemplo 2.1 (Encontrando un dominio). Encontrar el dominio de definición
de función
f(x, y) = xy
x2 .
+ y2 Solución. Se trata de encontrar aquellas parejas de números (x, y), para
las cuales tiene sentido la fórmula dada para f(x, y). Es decir, ¿qué valores
pueden darse a x e y, de manera que al realizar las operaciones indicadas en