Salvador Vera

32 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS
1.3.4. Restricciones y extensiones de funciones
Restricción Si f es una función con dominio Df y D1 es un subconjunto
de Df , D1 ⊆Df , se puede definir una nueva función f1 con dominio
D1 por medio de f1(x) =f(x) para cada x ∈D1. Esta función se llama
restricción de f al conjunto D1. Es decir,
f1 = {(a, b) ∈ f/ a ∈D1}
yseescribef1 = f|D1 para denotar la restricción de la función f al
conjunto D1.
Extensión Si g es una función con dominio Dg y D2 ⊇ Dg, entonces
cualquier función g2 con dominio D2 tal que g2(x) =g(x) para todo
x ∈Dg se llama una extensión de g al conjunto D2.
Nota: Usualmente no nos referiremos explícitamente a las restricciones de una función,
sino que lo haremos de manera implícita utilizando el siguiente lenguaje: Sea f una función
definida en un entorno de x0, entonces ... obien,sea f una función definida y que cumple
tal condición en un conjunto D1, entonces ... u otras expresiones similares. Entendemos
que, en dichos casos, la función puede tener un dominio superior, pero que el entorno o el
conjunto D1, respectivamente, están contenidos en ese dominio. Sin hacer disquisiciones
exquisitas sobre si nos estamos refiriendo a la función o a una restricción de la misma.
1.3.5. Composición de funciones.
Composición de funciones, en general. Componer dos funciones consiste
en aplicar la segunda función al resultado de la primera. Es decir, para
✭✭componer✮✮ dos funciones se aplica primero f a cada x en Df ydespués se
aplica g a f(x), siempre que sea posible (es decir, cuando f(x) pertenezca a
Dg).
x f g
↦−→ y ↦−→ z
x ↦−→f(x)↦−→ g f(x)
Por ejemplo, si f está definida en todo R por f(x) =x 3 y g está definida sólo para
x ≥ 0porg(x) = √ x, entonces, la composición g ◦ f sólo se puede definir para x ≥ 0, y
para estos números reales deberá tener el valor √ x3 .
En consecuencia, para poder componer dos funciones el conjunto final
de la primera función tiene que coincidir, de alguna manera, con el conjunto
inicial de la segunda.
A f
−→ B g
−→ C
Definición 1.11 (Composición como aplicación sucesiva de funciones).
Sea f una función con dominio Df en A y rango Rf en B y
sea g una función con dominio Dg en B y rango Rg en C. La composición
g ◦ f (observe el orden) es la función desde A a C dada por
g◦f = {(a, c) ∈ A×C/existe un elemento b ∈ Btal que (a, b) ∈ f y (b, c) ∈ g}