Salvador Vera

212 CAPÍTULO 4. DERIVACIÓN DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Funciones de dos variables. El concepto de derivada se puede generalizar
a funciones de dos variables z = f(x, y). La idea intuitiva responde a la
siguiente cuestión: ¿Cómo se va a ver afectada una función de dos variables
por una variación de una de sus variables, mientras que la otra variable
permanece fija? Podemos responder a esta cuestión considerando cada vez
sólo una de las variables. Esto es, hacemos la derivada de la función cada vez
con respecto a una variable, manteniendo constante la otra. Este proceso se
conoce como derivación parcial, y su resultado se llama derivada parcial de la
función respecto a la variable independiente elegida. Para ello partimos de la
idea del concepto de derivada de funciones de una variable “el límite, cuando
el incremento de la variable tiende a cero, del cociente del incremento de la
función dividido entre el incremento de la variable”. Suponemos que una de
las variables es constante e incrementamos sólo la otra, es decir, hacemos
la derivada suponiendo que la función depende sólo de una de las variables.
Con ello se reduce la discusión al caso uni-dimensional considerando una
función de varias variables como una función de una sola variable (cada
variable separadamente), manteniendo fijas las demás.
4.1.2. Definición
Supongamos que en cierto entorno del punto (x0,y0) está dada la función
z = f(x, y). Si fijamos la variable y: y = y0, obtenemos una función de una
sola variable x: z = f(x, y0). La derivada “habitual”de esta función en el
punto x = x0 se llama derivada parcial de la función f en el punto (x0,y0),
respecto de x, y se denota por
De esta forma,
∂f(x0,y0)
, obien
∂x
∂f
∂x (x0,y0)
∂f(x0,y0)
∂x
def df (x, y0)
=
dx x=x0
Nota: Señalemos que la designación de la derivada parcial de la función
f, respecto de la variable x, por ∂f(x0,y0)
es tradicional. Aunque es más
∂x
correcto escribir ∂f
∂x (x0,y0), ya que la expresión ∂f
es un símbolo único,
∂x
que designa la nueva función, cuyo valor se analiza en el punto (x0,y0).
Teniendo en cuenta la definición de derivada de una función de una sola
variable, resulta la siguiente definición de derivada parcial para funciones de
dos variable.
Definición 4.1. Dada una función de dos variables f : D ⊆ R 2 → R
definida en el abierto D de R 2 , se define la derivada parcial de f con respecto