Salvador Vera

358CAPÍTULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE PRIMITIVAS
Apareciendo, nuevamente, la integral que, en un principio, tratábamos da
calcular. Sustituimos y operamos como si se tratara de una ecuación, agru-
pando las dos integrales,
x x x x
e sen xdx= −e cos x + e sen x − e sen xdx
de donde resulta,
x x x
2 e sen xdx= −e cos x + e sen x
y despejando la integral y añadiendo la constante, resulta
Ejemplo 5.53. Hallar la integral
e x sen xdx= −e x cos x + e x sen x
2
a 2 − x 2 dx
Solución. Elegimos u = √ a2 − x2 y dv = dx.
√
u = a2 − x2 a2 − x2 du =
dx =
−xdx
√
a2 − x2 dv = dx
v = x
+ C
=
x
= x a2 − x2 +
2 dx
√
a2 − x2 Aparece una nueva integral I1 que calculamos sumando y restando a2 en el
numerador.
I1 =
x 2 dx
√ a 2 − x 2 =
a2 − (a2 − x2 )
a
√ dx =
a2 − x2 2 a
√ dx −
a2 − x2 2 − x2 √
a2 − x2 dx
La primera integral es inmediata. Para calcular la segunda integral racionalizamos
la expresión con lo cual resulta,
I1 = a 2 arc sen x
a −
a2 − x2dx Apareciendo, nuevamente, la integral que, en un principio, tratábamos da
calcular. Sustituimos y operamos como si se tratara de una ecuación, agru-
pando las dos integrales,
a2 − x2 dx = x a2 − x2 2 x
+ a arc sen
a −
a2 − x2dx de donde resulta,
2
a2 − x2 dx = x a2 − x2 2 x
+ a arc sen
a
y despejando la integral y añadiendo la constante, resulta
1
a2 − x2 dx =
2 x
a
a2 − x2 + 2
2
x
arc sen + C
a